初中数学竞赛 几何专题：点共线问题（含答案）.docx

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1、初中数学竞赛几何专题：点共线问题（含答案）1.锐角三角形中，，、是两条高，为的垂心，、分别是、的中点.证明：、和共点，这里为的外心.解析如图，由条件，可知和都是等腰直角三角形，而为、的中垂线上的点，故，，于是，，从而四边形为平行四边形.故与的交点为的中点.另一方面，、为、的中点，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，.即四边形为菱形，所以与的交点亦是的中点.从而命题获证.2.四边形与都是正方形，且点、、共线，点、、共线，连结、，点在上的射影是点，点在上的射影是点，求证：点、、共线.解析设与交于点，又设

2、，.于是由，有，即点与点重合.3.在矩形的边、、、上分别取异于顶点的、、、，已知.证明与的交点在矩形的对角线上.解析连结、.因为，与相交于，所以∽，可得，.又因，所以，则；因此∽.综上，，，所以∽，可得，即、、共线.1.证明：如果一个梯形内的（）个点到梯形四边距离之和相等，那么这个点共线.解析如图，延长梯形的腰、交于点.设为这个点中的一个点，过作一直线，交、于点、，使得为等腰三角形（）.设是这个点中的另一个点，我们证明在直线上.由条件到、的距离和等于到、的距离和.若在四边形内，则，从而，这里表示点到直线的距离.

3、结合，可得，矛盾.类似地，若在四边形内，则，亦矛盾.故在线段上.2.设四边形仅有一个内角是直角，且两对角线相等，则对边中垂线交点与直角顶点共线.解析如图，设四边形中，，作矩形，则，又设的中垂线与之中垂线交于，则易知，于是、均在中垂线上.同理、中垂线之交点也在中垂线上，故而结论成立.1.等腰梯形中.将绕点旋转一个角度，得一个新的.证明：线段、和的中点共线.解析如图，设、、的中点分别为、、，为的中点.并设，，则，，且，即为等腰三角形，并且等于减去与所成的角.注意到，，所以，，从而.于是.另一方面，，而，故.综上，.

4、故、、共线.2.直角三角形中，是斜边，为斜边上的高，以为圆心、为半径作.过作的割线，交于点和，交于点（在与之间）.在上取一点，使得，且与不在的同一侧.证明：、、三点共线.解析延长交于点，我们证明与重合，即证.由知为的切线，故.再在中，为高，从而由身影定理可知，所以，故、、、共圆，因此.注意到，故（这里再次用到、、、共圆），结合前面的结果，可知.由圆的对称性，即得.1.设锐角三角形，、、为高，是垂心，、分别在、上，且，求证：、的中垂线之交点在上.解析如图，若设、中垂线分别交于、（、在图中未画出），只要证明，即知结

5、论成立.由于，，而，故只需证明或即可.由条件知∽，故.结论证毕.2.的内切圆切边、于点、，直线与该内切圆切于劣弧内一点，分别交、于点、.为与的交点.证明：在线段上.解析设交于点，的内切圆切与于点、.交于点，先证：与重合.由正弦定理，可知，，结合，，可知.同理可证：.所以，由及，可知，即与重合.这表明过与的交点.类似可知，与与的交点.所以，与的交点在线段上.1.在中，，.、、分别为边、、上的点，使得四边形为正方形.设为过所作的外接圆的切线.证明：、和三线共点.解析设交直线于点，连延长交于点.只需证明与重合.记的三

6、边长分别为、、，而正方形的边长为.则由，可知，故.由为外接圆的切线，得，而为公共角，故∽，从而，于是，即，从而，结合，可知，故，.所以，即.而.所以，故与重合，命题获证.1.、均为圆的切线，是该圆的一条能弦，与圆交于点、，已知，点为中点，求证：点、、共线，这里为与的交点.解析连结、、，易知题目无非是要证明.易知，，，，于是问题转变为求证.由切线性质知，于是根据三角形面积公式，有，于是待证式又变为求证.事实上，，这是由于，且.