54 奈奎斯特稳定判据

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1、5.4奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。具有以下特点：(1)应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。(2)便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。(3)很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。(4)奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。5.4.1辅助函数F(s)如图示的控制系统，G(s)和H(s)是两个多项式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)1开环传递函数为闭环传递函数为把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数，记作F(s)，F(s)仍是复变量s的函数。=

2、1+Gk(s)2显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。考虑到物理系统中，开环传函中mn，故F(s)的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为n，F(s)可改写为：F(s)具有如下特征：1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根；2）零点和极点个数相同；3）F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。式中，zi和pi分别为F(s)的零点和极点。3F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。j0sziAF(s)ImRe0FB5.4.2幅角原理在s平面上任选一点A通过映射F(s)平面上F(A)。设s只包围zi，不包围也不通过任何极点和其他零点。

3、从A点出发顺时针转一周回到A4幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点，P个F(s)的极点，则s沿封闭曲线s顺时针方向转一圈时，在F(s)平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之差，即R=PZN若为负，顺时针。5.4.3奈氏判据（1）0型系统s为包围虚轴和整个右半平面。s平面s映射F(s)正虚轴j(:0)F(j)(:0)负虚轴j(:0)F(j)(:0)半径的半圆(1,j0)点0js+5F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。F(j)包围原点就是G(j)H(j)包

4、围(-1，j0)点。GH平面0F平面1对于G(j)H(j):0，开环极坐标图；:0，与开环极坐标图以轴镜像对称；F平面(1,j0)点就是GH平面的坐标原点。6奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有Z=PR若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围(1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围(1，j0)点P圈时

5、，闭环系统是稳定的。7例5-10判断系统稳定性（2）p=0，R2zpR20闭环系统不稳定的。Rep=0ReIm0=0解：由图知（1）p=0且R=0闭环系统是稳定的。ReIm01p=0=08（3）p=0，R0闭环系统是稳定的。ReIm01=0p=09试用奈氏判据判断系统的稳定性。例5-11一单位反馈系统，其开环传函当=0，Gk(j0)=k180当，Gk(j)=090ReIm0=0k解：已知p=1频率特性10当k<1时，k>1，R=1z=pR=0∴闭环系统是稳定的。当k>

6、1，k<1，N=0，z=pR=1闭环系统是不稳定的。ReIm0=0k111相应地，在GH平面上开环极坐标图在=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从=0到=0+顺时针旋转N•180°的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。0+（2）开环有积分环节的系统由于开环极点因子1/s，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。j0如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。0

7、120js+ImRe0=0+增补线=0-13用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=90终点：Gk(j)=0270与坐标轴交点：例5-12已知系统的开环传函为令虚部=0，得，14系统的开环极坐标图如图示：R=2z=pR=2∴闭环系统是不稳定的。当ImRe0=0+增补线1=0-R=0z=pR=0∴闭环系统是稳定的。当所作的增补线如虚线所示。>115(3)由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从0时的开环幅相曲线

8、，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公