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1、2008中国数学奥林匹克解答第一天1.设锐角△的三边长互不相等.为其外心,点在线段的延长线上,使得.过点分别作,,垂足分别为,.作,垂足为.记△的外接圆半径为,类似地可得,.求证:,其中R为△的外接圆半径.（熊斌提供）证明首先,易知四点共圆.事实上，作△BOC的外接圆，设它与AO相交于点P不同于，则，于是，△△，可得，故，矛盾。所以,.,.所以△∽△.同理,△∽△.所以,则.所以,.作⊥，垂足为，因为，所以，于是,故,同理,,,注意到,所以.2.给定整数.证明:集合能写成两个不相交的非空子集的并,使得每一个子集均不包含个元素,满足,
2、.（冷岗松提供）证明定义,.令,.下面证明即为满足题目要求的两个子集.首先,,且.其次,如果中存在个元素满足,.则(*)不妨设.由于,故.这个数中至少有个在中.根据抽屉原理,必有某个中含有其中至少两个数,设最小的一个为,则,而.于是,.所以,与(*)矛盾.故中不存在个元素满足题中假设.同理,中亦不存在这样的个元素.这表明即为满足题中要求的两个子集.3.给定正整数,及实数满足.证明:对任意实数,有.这里,表示不超过实数的最大整数.（朱华伟提供）证明1我们先证明一个引理,对任意实数和正整数,有引理证明只需要将对求和即得.回到原题,我们采
3、用归纳法对进行归纳,当时显然正确.假设时原命题成立,考虑.令,其中显然我们有,并且通过计算得知,由归纳假设知.又,否则若,则,,矛盾.从而由此可得.由归纳法知原命题对任意正整数均成立.证明2记,则且,只需要证明.(1)令,则,所以,从而.(2)于是,故(1)转化为证明对任意的,.(3)而.故只需要证明对任意的,有,而上述不等式等价于.注意到对任意实数成立,上述不等式显然成立.从而(3)得证.第二天4.设是正整数集的无限子集,是给定的整数.已知:对任意一个不整除的素数,集合中均有无穷多个元素不被整除.（余红兵提供）证明:对任意整数,,
4、集合中均存在有限个不同元素,其和满足(mod),且(mod).证明1设,则集合中有一个无穷子集,其中的元素都不被整除.由抽屉原理知,集合有一个无穷子集,其中的元素都(mod),是一个不被整除的数.因,故.由中国剩余定理,同余方程组(1)有无穷多个整数解.任取其中一个正整数解,并记是中前项的集合,则中的元素之和,再由(1)可知,.设,并设对每个已选出了的有限子集,其中,使得中的元素和满足,.(2)考虑集合,则的元素和.根据(2),我们有,(),且.所以即满足题目要求.证明2考虑中的数除以的余数,设出现无穷多次的余数依次为.首先证明.(
5、1)反证法.反设有某个素数,则由知不整除;又根据的定义,中只有有限个数不是的倍数,这与题设矛盾.于是(1)获证.从而存在正整数,使得.再取合适的正整数使得.则.于是从中依次取出个模的余数为的数即满足题目要求.5.求具有如下性质的最小正整数:将正边形的每一个顶点任意染上红,黄,蓝三种颜色之一,那么这个顶点中一定存在四个同色点,它们是一个等腰梯形的顶点.（冷岗松提供）解所求的最小值为.首先证明时,结论成立.反证法.反设存在一种将正边形的顶点三染色的方法,使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于,故必存在某6个顶点染同一种颜色,不
6、妨设为黄色.将这6个点两两连线,可以得到条线段.由于这些线段的长度只有种可能,于是必出现如下的两种情况之一:(1)有某3条线段长度相同.注意到3F17,不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况.所以存在两条线段,顶点互不相同.这两条线段的4个顶点即满足题目要求,矛盾.(2)有7对长度相等的线段.由假设,每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点,否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点.再根据抽屉原理,必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点.这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点,矛盾.所以,时,结论成立.再对构造出不满足题目要求的染色
7、方法.用表示正边形的顶点(按顺时针方向),分别表示三种颜色的顶点集.当时,令,,.对于,到另4个顶点的距离互不相同,而另4个点刚好是一个矩形的顶点.类似于,可验证中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点.对于,其中6个顶点刚好是3条直径的顶点,所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点,要么是某个不等边4边形的4个顶点.当时,令,,,每个中均无4点是等腰梯形的顶点.当时,令,,,每个中均无4点是等腰梯形的顶点.当时,令,,,每个中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点,染色方式不变,即得到的染色方法;然后再去掉顶点,即得到的染色方
8、法;继续去掉顶点,得到的染色方法.当时,可以使每种颜色的顶点个数小于4,从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.上面构造的例子表明不具备题目要求的性质.总上所述,所求的的最小值为17.6.试确定所有同时满足,的三元数组,其中为奇素数,
