《动态解析高考数学综合题》解析几何

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1、第五章直线与圆直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始.对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况.近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率.第一节直线与圆的位置关系1.直线的x-截距与y-截距之间的关系例1（09华南师大附中3月）已知

2、直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程.【动感体验】要全面考虑可能成立的各种情况.已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况.如图5.1.1所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记为l）经过点P且与圆A相切.则该l到点（1，2）的距离为恒为2.打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的情况.图5.1.1【思路点拨】对于满足条件的直线其截距为零和不为零

3、两种情况分别讨论.【动态解析】图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值均相等.图5.1.2图5.1.3图5.1.4图5.1.5图5.1.6图5.1.7可设满足条件的直线的方程为y=kx+b.

4、k−2

5、当b=0时，由点到直线的距离公式得：=2，解得k=−2+6或21+kk=−2−6.当b≠0时，则直线l的斜率k为1或者-1，由点到直线的距离公式得：

6、k+b−2

7、=2，当k=1时，解得b=−1或b=3；当k=−1时，解得b=5或21+kb=1.因此所求直线的方程为：y=

8、(−2+6)x，或y=(−2−6)x，或y=x−1，或y=x+3，或y=−x+5，或y=−x+1.【简要评注】从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况.在这里我们首先考虑到直线到点A的距离为2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了.有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式.2.直线与圆的位置关系22例2（06湖南理10）若圆x+y−4x−4y−10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22,则直线l的倾斜角

9、的取值范围是（）。πππ5ππππA．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]1241212632方法一：【动感体验】2222方程x+y−4x−4y−10=0可化为(x−2)+(y−2)=18，该圆的圆心为（2，2）、半径为32，圆心在直线y=x上.l:ax+by=0是一条过原点的直a线，系数a,b决定其倾斜角.令k=−，则l的方程为：y=kx.考虑k变化时与b直线y=kx平行并与之距离为22的两条直线与圆交点的个数.打开文件“06湖南理10.zjz”，实线表示直线y=kx，虚线是两条到直线y=kx的距离等

10、于22，通过拖动点P或者动画按钮可以改变k的值，如图5.1.8-5.1.12所示为其中的几种情况.图5.1.8图5.1.9图5.1.10图5.1.11图5.1.12【思路点拨】改变k的值考虑当圆上恰好有三个点到直线l的距离为22时，两条平行线与圆的位置关系.这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线l的距离恰好为2，由此不难确定直线l的倾斜角的取值范围.【动态解析】注意到OC=22，当圆心到直线l的距离CD恰好为2时，如图5.1.8、图π225.1.11所示，∠COD=.由此不难确定若圆x+y

11、−4x−4y−10=0上至少6π5π有三个不同的点到直线l的距离为22时,直线l的倾斜角的取值范围是[，].1212所以选择B.方法二：【动感体验】2222方程x+y−4x−4y−10=0可化为(x−2)+(y−2)=18，可知该圆的圆心为（2，2）、半径为32.进入文件“06湖南理10.zjz”第二页，点C是方程22x+y−4x−4y−10=0所在圆的圆心.点P是圆C上的动点，CD⊥OP与D，因此可以用直线OP表示方程ax+by=0对应的直线l，其中.拖动点P，观察直线OP与圆C的位置关系，判断当圆C上

12、至少有三个不同的点到直线OP的距离为22时直线OP所应满足的条件，如图5.1.13-5.1.16所示，为其中的几种情形.图5.1.13图5.1.14图5.1.15图5.1.16【思路点拨】将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离.【动态解析】a令k=−，则l的方程为：y=kx.b当直线OP在圆心C左上方时，若圆上正好有3个点到l的距离为22，如图π5.1.13所示，则此时

13、CD

14、=32−22=2.又因为

15、OC

16、=22，∠