信息论与编码第7-8章习题解答

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1、《信息论与编码》第七、第八章习题解答7-2设En是n维二元矢量空间中所有具备偶数重量的矢量集合。证明En是线性码，并确定En的参数（n,k,d），以及它的系统生成矩阵。[证明]设c和c均属于E，即均是重量为偶数的n维二元矢量。于是c+c的重量为12n12w(c+c)=w(c)+w(c)-2w(c×c)H12H1H2H12是偶数，其中c×c表示c和c的交截。因此c+cÎE，所以E是一个线性码。121212nn由于对称性，在所有长度为n的二元矢量中，奇数重量与偶数重量的矢量数相等，n-1所以E中码字数为2，从而k=n-1；又E中最小非零码字的重量为2，所以d=2，nn于是E的参数为(n,n-1,2

2、)。n7-4设二元线性码M的生成矩阵为é10011ùêúG=00101êúêë01111úû求M的最小距离。[解]由G生成的（5，3）码的八个码字为（00000），（10011），（00101），（01111）（10110），（01010），（11100），（11001）所以非零码字最小重量为2，从而最小Hamming矩离d=2。min7-5设二元线性码M的生成矩阵为æ11010öG=ç÷，çè01010÷ø建立码M的标准阵，并对码字11111和10000分别进行译码。[解]由G生成的（5，2）码M的标准阵列为（00000），（11010），（01010），（10000）（00001），（11

3、011），（01011），（10001）（00010），（11000），（01000），（10010）（00100），（11110），（01110），（10100）（00011），（11001），（01001），（10011）（00101），（11111），（01111），（10101）（01100），（10110），（00110），（11100）1（00111），（11101），（01101），（10111）接收到矢量（11111）译成码字（11010）接收到矢量（10000）译成码字（10000）7-7设二元线性码M的生成矩阵为éù1100êú1010êúêú0110êúG=I1111，ê

4、ú7êú1101êúêú0101êú1001ëû确定M的校验矩阵并求其最小距离。[解]与G相应的系统生成矩阵为éù1100êú1010êúêú0110'êúGI=1111êú77´êú1101êúêú0101êú1001ëû相应的校验矩阵为é1101101ùê1011110úH'=Iê4´40111000úêë0001111úû'G和G的差别仅是列的置换，所以H和H'的差别也是同样的列置换，所以é1101101ùê1011110úH=Iê01110004´4úêë0001111úû该码的校验矩阵任意二列线性独立，而第1，2，3列之和为零矢量，所以存在着相关的三列，从而最小Hamming重量为3

5、。d=3min27-8建立二元（7,4）Hamming码的包含陪集首项和伴随式的伴随表，并对收到的矢量0000011，1111111，1100110，1010101进行译码。[解]（7.4）Hamming码的校验矩阵为é1010101ùH=ê0110011úêë0001111úû错误形式和伴随矢量表为es（1000000）（100）（0100000）（010）（0010000）（110）（0001000）（001）（0000100）（101）（0000010）（011）（0000001）（111）接收矢量伴随矢量相应译出码字（0000011）Þ（100）Þ（1000011）（1111111）Þ

6、（000）Þ（11111111）（1100110）Þ（000）Þ（1100110）（1010101）Þ（000）Þ（1010101）7-9设二元（15，11）Hamming码的校验矩阵为é000000011111111ùêú000111100001111H=êúê011001100110011úêúë101010101010101û试对收到的字011011001111000，和001100110011000进行译码。[解]接收到矢量伴随式错误形式译出码字（011011001111000），（0110），（000001000000000），（011010001111000）（0011001100

7、11000），（1111），（000000000000001），（001100110011001）37-11研究系统码（8，4），其校验方程为c=m+m+m0123c=m+m+m1012c=m+m+m2013c=m+m+m3023其中m0,m1,m2,m3是信息位，c0,c2,c3,c4是校验位，求此码的生成矩阵和校验矩阵，并证明此码的最小距离为4。[解]设系统码的校验矩阵为é1000g00g10