高等代数 - 南京财经大学研究生处.doc

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1、南京财经大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试(初试)试卷考试科冃：818高等代数适用专业：应用数学考试时间：2008年1月20口下午2:00・5:()0注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.1.(15分)设/(x),g(x)为两个非0多项式，证明存在正整数N,使对任意大于N的两个正整数〃，加，都有(广©),g(x))=(厂⑴，g(x)).2.(15分)计算几+1阶行列式a00a••••••000卩角••••••a0”°a2a2n•••3.(20分)设4=a2。22°畀-1.2an-.nM.t为A中划去第i列剩下的-1)x⑺-1)方阵的行列式.(

2、1)证明C=(M],-冷,…，(-为加=0的一个解.⑵若秩(A)=/z-l,则Ar=0的所有解向量均为C的线性组合.4.(20分)证明:⑴对任何实矩阵俎“,A=0当且仅当AtA=0.(1)设A(i=1,2,・・・异)为同阶实对称矩阵，则EA-0当且仅当/=1A=0(i=l,2,・・・,r).5.(20分)证明：(1)若力为正定矩阵，则存在正定矩阵2使得A=P2.(2)若矩阵儿於同阶，且力正定，〃半正定，则/〃的特征值均为非负实数.6.(20分)设X为数域P上线性空间V的一个子集，称V在X上自由，若对P上任一线性空间W,及任一映射g:XtW,均存在线性映射f:VW,使/在X上的限制

3、fx=g.lit时也称V是自由的・(/是线性映射指:/是V至I」W的一个映射，且保持向量加法及数量乘法运算).证明：(1)P上任一〃维向量空间是自由的.(2)对无穷维线性空间上述结论是否成立？若成立，给出证明；若否，给出反例.7.(20分)设b为数域P±.n维线性空间V的一个线性变换，g(x)M(x)均为P上的多项式,/(x)=g(x)h(x),且/(cr)=0.idU=ker(g(cr)),W=ker(/?(cr)),证明(1)U和W均为6不变子空间.(2)若g(x)与〃(兀)互素，则V=U㊉W.8・(20分)设V为数域P上的n维线性空间，求证：(1)V的所有线性变换构成的线

4、性空间1(")是〃维的.⑵若AeL(V),则存在次数不超过V的P上的多项式/(兀)，使/(A)=0.(1)A可逆当且仅当有一常数项不为0的多项式/(a),使/(A)=0.(耍求：在证明(2)和⑶两小题时，不允许直接使用Hamilton-Cayley定理)