电磁场理论 答案 习题3

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1、课后答案网www.khdaw.com《电磁场与电磁波》——习题详解第三章恒定电流的电场和磁场3-1一个半径为a的球内均匀分布着总量为q的电荷，若其以角速度ω绕一直径匀速旋转，求球内的电流密度。解：传导电流：导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。运流电流：带电粒子在真空或气体中运动时形成的电流。本题求的是运流电流。选取球坐标系。设转轴和直角坐标系的z轴重合，球内某一点的坐标为(r,θ,φ)，则电流密度为vvqv3qωrsinθvJ=ρv=⋅ωrsinθe=e2φ3φ4πa4πa3注意到球面坐标的有向面积元为vv2vvdS=ersinθdθdφ+ersi

2、nθdrdφ+erdrdθrθφ可以得到总电流为vvπaqωI=∫∫J⋅dS=∫∫Jrdrdθ=S002π2π总电流也可以通过电流强度的定义计算。因为球体转动一周的时间为T=，ω所以qqωI==T2π3-2球形电容器内、外极板的半径分别为a、b，其间媒质的电导率为σ，当外加电压为U时，计算功率损耗并求电阻。0解：设内、外极板之间的总电流为I。由对称性，可以得到极板间的电流密度为vIvJ=e，2r4πrvIvE=e2r4πσrbI⎛11⎞U0=∫Edr=⎜a−b⎟a4πσ⎝⎠25课后答案网www.khdaw.com习题三4πσU0vσU0v从而I=，J=er11⎛11⎞2−⎜−⎟rab

3、⎝ab⎠单位体积内功率损耗为22⎡U0⎤J⎢⎥p==σ⎛11⎞2σ⎢⎜−⎟r⎥⎢⎣⎝ab⎠⎥⎦总功率损耗为b4πσU2bdr4πσU2200P=p4πrdr==∫a112∫ar211⎛⎞−⎜−⎟⎝ab⎠ab2U0由P=，得R1⎛11⎞R=⎜−⎟4πσ⎝ab⎠3-3一个半径为a的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为σ。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I，则任意点的电流密度为vIvvIvJ=e，E=e2r2r4πr4πσr导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)∞IIU=dr

4、=∫πσ2πσaa4r4接地电阻为U1R==I4πσa3-4在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数均是坐标的函数)中，若恒定电流存vε在，证明媒质中的自由电荷密度为ρ=E⋅(∇ε−∇σ)。σv证明：由方程∇⋅J=0得26课后答案网www.khdaw.com《电磁场与电磁波》——习题详解vvvv∇⋅J=∇⋅(σE)=E⋅∇σ+σ∇⋅E=0v∇σv即∇⋅E=−⋅Eσvvvv故有ρ=∇⋅D=∇⋅(εE)=E⋅∇ε+ε∇⋅Ev∇σvv⎛ε⎞=E⋅∇ε−ε⋅E=E⋅⎜∇ε−∇σ⎟σ⎝σ⎠3-5如图3-1，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d和d，介电常数12分别为ε和ε，电导率分别为σ

5、和σ，当外加电压U时，求分界面上的自12120由电荷面密度。解：设电容器极板之间的电流密度为J，则J=σE=σE1122JJE1=，E2=d1ε1,σ1σσ12U0于是d2ε2,σ2JdJd12U=+0σσ12图3-1即U0J=dd12+σσ12分界面上的自由面电荷密度为⎛εε⎞⎜21⎟ρ=D−D=εE−εE=−JS2n1n2211⎜⎟σσ⎝21⎠⎛εε⎞U⎜21⎟0=−⎜σσ⎟d1d2⎝21⎠+σσ123-6内、外导体半径分别为a、c的同轴线，其间填充两种漏电媒质，电导率分别27课后答案网www.khdaw.com习题三为σ(a

6、2解：设每单位长度从内导体向外导体的电流为I，则电流密度为vIvJ=er2πr各区域的电场为vIvE=e(a

7、==G2πσa图3-2土壤损耗的功率为222I1006P=IR==≈1.59×10W2πσa2π×0.01×0.13-8一个正n边形(边长为a)线圈中通过的电流为I，试证此线圈中心的磁感应强度为µnIπ0B=tan2πan解：先计算有限长度的直导线在线圈中心产生的磁场。使用公式µI0B=(sinα−sinα)124πr28课后答案网www.khdaw.com《电磁场与电磁波》——习题详解2ππ并注意到α=−α==122nn设正多边形的外接圆半径是a。由于r