2012年高考数学《直线和圆》专题 圆的方程学案.doc

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1、第5课时圆的方程基础过关1．圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．典型例题例1.根据下列

2、条件，求圆的方程．(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0由解得∴圆心为C(7，－3)，半径r＝故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将P、Q两点坐标代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦长

3、x1－x2

4、＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0变

5、式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB==,线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,-6-解方程组得∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r==所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.

6、设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1M

7、Q中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半径为,圆心为.方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.-6-∴m-3=0，即m=3.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圆心M，又圆在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为，半径为.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C

8、恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长

9、AB

10、最短，由垂径定理得

11、AB

12、=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知点P（x，y）是圆(x+

13、2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为-6-d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴