高一数学 补集思想在解题中的应用举例（高三）.doc

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1、补集思想在解题中的应用举例在集合中，大家都知道补集有这样一个性质：，可是你知道它到底有何作用呢？本文将通过几个例题与大家谈谈其作用.【例1】已知集合A={y

2、y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y

3、y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，求实数a的取值范围.分析：本题若直接去解，情形较复杂，也不容易求得正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，同样也可以求解.解：易解得A={y

4、y>a2+1或y

5、2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围.如图由，得∴或.即A∩B＝φ时a的范围为或,而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集

6、.从而,易知所求范围为.【点评】一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”.【例2】若下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围.分析：本题的正面有七种情形需要考虑，而其反面只有一种，即“三个方程均无实根”.故先考虑其反面是捷径.解：若三个方程均无实根，则有.设A=.于是三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为【例3】若x、y、z均为实数，且，求证：-2-用心爱心专心a、b、c中至少有一个

7、大于0.分析：本题直接证明不仅情形较多，而且难于找到思路.若我们能够证明其反面不能成立，则就能肯定其正面成立.证明：假设a、b、c均小于等于0，则a＋b＋c≤0,又a＋b＋c＝x2-2y+y2-2z+z2-2x+π＝(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0恒成立，∴假设错误，故原命题成立，即a、b、c中至少有一个大于0.【点评】本题实际是一种反证法，反证法从某种角度看就是“补集思想”的一个应用.总之，“补集思想”在数学中的应用很广，在今后的学习中我们还将多次应用，希望同学们要熟练地应用它，这将会给你的解题带来很大的帮助.【例4】已知函数,在区

8、间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.分析：本题的正面情形复杂多样，需要讨论考虑.故先考虑其反面是捷径.解:设所求的范围为，则在上函数注意到函数的图象开口向上【例5】为什么数时，方程无实根.分析：此题若正面解，可判别式小于0和讨论出的取值范围或讨论二次函数的两种情况，列出关系式，但这需要一定的技巧.若从反面考虑取其补集，可避免讨论，迎难而解.解：原方程变形、整理：，若方程有实数解，则，，故.取其补集得，当或时，方程无实根.-2-用心爱心专心