四阶非线性波方程整体解的存在唯一性-论文.pdf

《四阶非线性波方程整体解的存在唯一性-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2014年9月重庆师范大学学报(自然科学版)第31卷第5凝JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScience)Vo1．31No．5四阶非线性波方程整体解的存在唯一性喻朝阳(西昌学院工程技术学院，四川西昌615013)摘要：梁和板振动是重要的物理现象，在数学上通常用四阶非线性波动方程来研究，所以探讨四阶波动方程具有重要的理论价值和实际意义。方程解的存在唯一性是研究方程解的性态和分析解的性质的前提和基础。本文研究了四阶非线性弱阻尼波动方程+au+△u=f(t，z，，Vu)的整体解的存在唯一性。利用了空间序列技巧和能量估计方法，验证了当非

2、线性项f(t，z，，)满足一定条件时，方程存在整体解；并证明了四阶非线性弱阻尼波动方程整体解的唯一性。本文主要扩展了非线性项，在已有文献中的非线性项为I“J或者为f(“)，不含有导数，而本文研究的非线性项为f(t，z，“，Vu)，所以适用范围更加广泛。关键词：四阶非线性波动方程；弱阻尼；整体解中图分类号：O175．29文献标志码：A文章编号：1672—6693(2014)05—0095—05本文研究了如下四阶非线性弱阻尼波动方程的整体解z￡++△一-厂(，，，Vu)，(，)∈×R+(1)u(x，0)一(z)，(1z，O)一(z)，z∈n(2)!m一△{an一0，t>0(3)其中a

3、>0，是R”中的有界集，边界为a。方程(1)是一类梁振动方程口]，在不具有耗散项的情况下Levandoskyll研究了方程+A。“+“一iUJ1,对应的线性方程的L一L估计和时空估计，并利用这些估计研究了方程+A++Au一JUlU的Cauchy问题局部解的存在性及渐进性质和低能量散射理论。陈勇明、杨晗等在文献[2—3]中利用位势井理论研究了方程+△U+一i“1P整体解的存在性、唯一性及光滑性，构造不稳定集证明了解在有限时刻发生爆破；在文献E4]中研究了具耗散项的非线性四阶波动方程+△。lg,++Du一I“I乱初边值问题的爆破性质。张艳丽、张珏在文献[5]中利用整体迭代法证明了一类

4、半线性四阶波动方程Cauchy问题+△。“+U一()整体经典解的存在性。卞春雨在文献[6]中讨论了当≥4时，一类弱阻尼非线性四阶波动方程的初边值问题+△“++D一．厂(“)的弱解存在唯一性的条件。高阶非线性波动方程已有一些研究结果。，但是关于形如式(1)～(3)的方程的整体解还没有相关结果。方程解的存在唯一性是研究解性质和特征的前提和基础，所以一些方程的存在唯一性得到文献[13]～[17]的研究。本文利用马天在文献[18]中提出的空间序列方法探讨了方程(1)～(3)初边值问题的整体解存在唯一的条件。本文的安排如下：第一部分给出预备知识，定义了弱解，并给出了～个抽象定理；第二部分是

5、主要结论，证明了整体解的存在唯一性。文中C表示可变的常数，fJ·lf表示L。()范数。1预备知识引入两个空间序列』1x，cH二zc、cx矗z(二二xcH，，其其中中HH，，HH,H2是是HHiilbbeerrt空空间间，，xx是是线线性性空空间间，，xx1，，X2是是BBa一一*收稿日期：201305—03修回日期：2013—05—27网络出版时间：20149—1722：37资助项目：四J1I省教育厅自然科学基金(No．11ZA143)作者简介：喻朝阳，男，讲师，重庆师范大学校友，研究方向为数学分析，E—mail：zhaoyangyu123@163．corn网络出版地址：http

6、：／／www．cnki．net／kcms／detail／5O．1165．N．20140917．2237．018．html96重庆师范大学学报(自然科学版)http：／／www．cqnu]．cn第31卷nach空间，且所有包含是稠密嵌入。假设严：X-+X是一一稠密的线性算子(4)1(Lu，>H一(，>H，V“，vEX算子L有特征向量序列{e)满足Le一e(忌一1，2，⋯))使得{e)X是H，H，Hz的公共正交基。考虑如下的波动方程』+忌du—G(是≥。(6)l(0)===，(0)一其中G：X×R。。一X是一个映射。定义1令(，)∈X。×H，称uEW，((0，T)，H)nL((O，T

7、)，Xz)为方程(6)的一个全局弱解，若对任意V∈X有(，)H+k(，)H：l(Gu，口)dt+(，)H+k(，)H。令算子G—A+B：X×R。。一x。给出以下几个条件：(A1)存在C泛函F：X2一R使得(Au，Lv)一<～DF(u)，>，V乱，vEX；(A2)泛函F：X一R是强制的，即F()一∞甘ll甜llx一∞；lrtlrt(A3)算子B满足{lJI(Bu，)dtl≤ClEF(u)+lI“ff备+g()]d+C[F()+1]。01J0其中V“EC(Eo，oo)，x)，“(O)