高等教育出版社,量子力学教程第二版课后答案,周世勋,陈灏着

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1、量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长l与温度mT成反比，即lT=b（常量）；m并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式38phv1rd=×dvvvc3hv，（1）ekT-1以及lv=c，（2）rdv=-rdl，（3）vv有dvr=-rldlcdl=-r(l)vdlr(l)v=×cl8phc1=×,5hclelkT-1这里的r的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。l本题关注的是λ取何值时，r取得极大值，因

2、此，就得要求r对λ的一ll阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作l。但要注意的是，还需要验证rml对λ的二阶导数在l处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的l就mm是要求的，具体如下：1'8phc1hc1r=×-5+×=0l6hchcllkT-elkT-11-elkThc1⇒-5+×=0hclkT-1-elkThc-hc⇒1(5-elkT)=lkThc如果令x=，则上述方程为lkT-x1(5-e)=x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步

3、近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有hclT=mxk把x以及三个物理常量代入到上式便知-3lT=9.2´10m×Km这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP=l2如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E<

4、么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平6方的乘积，即.051´10eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有hl=p2h=2mEehc=22mcEe-6.124´10=m62´.051´10´3-9=.071´10m=0.71nm在这里，利用了-6hc=.124´10eV×m以及26mc=.051´10eVe最后，对hcl=22mcEe作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动

5、能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。31．3氦原子的动能是E=kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德2布罗意波长。解根据-31k×K=10eV，知本题的氦原子的动能为33-3E=kT=k×K=5.1´10eV,222显然远远小于mc这样，便有核hcl=22mcE核3-6.124´10=m9-32´7.3´10´5.1´10-9=.037´10m=.03

6、7nm这里，利用了269mc=4´931´10eV=7.3´10eV核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为hchcl==222mcE2mkcT据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。1．4利用玻尔——索末

7、菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。-24-1已知外磁场H=10T，玻尔磁子M=9´10J×T，试计算运能的量子化间B隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。解玻尔——索末菲的量子化条件为∫pdq=nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有2p12E=+kx2m2这样，便有12p=±2m(E-kx)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动

8、和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据12E=kx22E可解出x=±±k4这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有x+12x-12∫2m(E-kx)dx+∫(-)2m(E-kx)dx=nhx-2x+2⇒x+E1kx2dxx+E1