高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课件.pptx

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1、3.4生活中的优化问题举例自主学习新知突破1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤．2．会利用导数解决某些实际问题．2012春，我国云南遭遇特大旱灾，为确保农业生产用水，某市及时下拨资金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体，其上、下底的单位面积造价是侧面单位面积造价的a倍．当其容积为常量时，应如何设计水塔的尺寸能使总造价最低？最优化问题解决优化问题的基本思路解决优化问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函

2、数．(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台解析：利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．答案：C2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，则分法为()

3、A．2与6B．4与4C．3与5D．以上均错解析：设一段长为x，则另一段为8－x，其中0

4、，则圆柱体的半径r为多大时：(1)圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？[思路点拨]由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1．横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，横截面的宽与高应是多少？最大利润问题(1)写出201

5、3年第x个月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场2013年销售该商品的月利润最大是多少元？利润最大问题是我们生活中最常遇到的问题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利用导数求函数的最大值．成本最低(费用最省)问题如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池

6、长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数b(b>0)；固定部分为a

7、元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？