2012高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算精品课件同步导学 新人教A版选修2-1.ppt

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1、3．1.2空间向量的数乘运算1.掌握空间向量的数乘运算．2.理解共线向量定理及推论．3.理解共面向量定理及推论.1.空间向量的数乘运算．(重点)2.共线向量及共面向量的应用．(重点、难点)3.向量的共面、共线与直线的位置关系．(易混点)1．我们把具有和的量叫做空间向量．2．什么是零向量？什么是相反向量？什么是相等向量？3．空间向量加法满足、．4．你还记得平面向量的数乘运算及共线向量定理吗？大小方向交换律结合律1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系向量λ的范围方向关系模的关系λ>0方向.λa

2、的模是a的模的.λ＝0λa＝0其方向是任意的λ<0方向.相反

3、λ

4、倍相同(3)空间向量的数乘运算律①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.2．共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量叫做或平行向量平行于的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使.互相平行或重合共线向量同一平面a⇒λbp＝xa＋yb共线(平行)向量共面向量推

5、论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，其中a叫做直线l的，如图所示．如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O来说，有方向向量1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面．③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.A．1B．2C．3D．0解析：①中若b＝0，则a与c不一定共线．②中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面．③中若b＝0，a≠

6、0，则不存在λ.答案：D答案：C由题目可获取以下主要信息：①长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点；②化简向量；③用已知向量表示指定向量．解答本题先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出x、y、z即可．[题后感悟]判断空间图形中两个向量共线的步骤(1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b；(3)化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△

7、PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[规范作答]证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，1．对空间向量的数乘运算λa的理解(1)可以把向量a的模扩大(当

8、λ

9、>1时)，也可以缩小(当

10、λ

11、<1时)；可以不改变向量a的方向(当λ>0时)，也可以改变向量a的方向(当λ<0时)．(2)实数与向量的积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0.(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如λ＋a，λ－a没有意义，无法运算．2．对共线向量的理解(1)当向量a，b共线时，

12、表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线．(2)零向量和空间任一向量是共线向量．(3)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一．(4)在a＝λb中，对于确定的λ和b，a＝λb表示空间与b平行或共线且长度为

13、λb

14、的所有向量．(5)共线向量定理的推论可以用来判断空间三点P、A、B是否共线．3．对共面向量的理解(1)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量不一定共面．(2)若a、b共线，则p＝xa＋yb不是p、a、b共面的充要条件，原因是：若a、b共线，则p与a、b一定共面．当p与a、b不共线时，p无法写成xa＋yb的形式；

15、当p与a、b共线时，虽然可以写成p＝xa＋yb的形式，但有序实数对不唯一．【错因】要研究非零向量a，b是否共线，不能光从表面上看，而应根据a，b共线的充要条件来判断，即看a能否表示为λb的形式．