常微分方程(第三版)课后答案.pdf

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1、常微分方程2.1dy1.2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.dx解：对原式进行变量分离得122xdy2xdx,两边同时积分得：lnyxc,即yce把x0,y1代入得y2c1,故它的特解为yex。22.ydx(x1)dy0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：1111dxdy,当y0时，两边同时积分得；lnx1c,即y2x1yyclnx1当y0时显然也是原方程的解。当x0,y1时，代入式子得c1,故特解是1y。1ln1x2dy1y33dxxyxy解：原

2、式可化为：22dy1y11yy1显然0,故分离变量得dydx323dxyxxy1yxx1212222两边积分得ln1ylnxln1xlnc(c0),即(1y)(1x)cx22222故原方程的解为（1y）(1x)cx4：(1x)ydx(1y)xdy01x1y解：由y0或x0是方程的解，当xy0时，变量分离dxdy0xy两边积分lnxxlnyyc,即lnxyxyc,故原方程的解为lnxyxyc;y0;x0.5:(yx)dy(yx)dx0dyyxydydu解：,

3、令u,yux,uxdxyxxdxdxduu1u11则ux,变量分离，得：dudx2dxu1u1x12两边积分得：arctguln(1u)lnxc。2dy226：xyxydxydydu解：令u,yux,ux,则原方程化为：xdxdx22dux(1u)11,分离变量得：dusgnxdxdxx12xu两边积分得：arcsinusgnxlnxcy代回原来变量，得arcsinsgnxlnxcx22另外，yx也是方程的解。7：tgydxctgxdy0解：变量分离，得：ctgydytg

4、xdx两边积分得：lnsinylncosxc.2y3xdye8:dxyy13x解：变量分离，得dyc2ey3e9:x(lnxlny)dyydx0yy解：方程可变为：lndydx0xxy1lnu令u,则有：dxdlnuxx1lnuy代回原变量得：cy1ln。xdyxy10：edxyx解：变量分离edyedxyx两边积分eecdyxyedxyx解：变量分离，edyedxyx两边积分得：eecdy211.(xy)dxdydt解：令xyt,则1dxdxdt1原方程可变为：12dxt1

5、变量分离得：dtdx,两边积分arctgtxc2t1代回变量得：arctg(xy)xcdy112．2dx(xy)解dydtdt1令xyt，则1，原方程可变为12dxdxdxt2t变量分离dtdx，两边积分tarctgtxc，代回变量2t1xyarctg(xy)xcdy2xy113.dxx2y111解：方程组2xy10,x2y10;的解为x,y3311dY2XY令xX,yY,则有'33dXX2Y2YdU22U2U令U，则方程可化为：XXdX12U变量分离d

6、yxy514,dxxy2dydt解：令xy5t,则1,dxdxdtt原方程化为：1,变量分离(t7)dt7dxdxt712两边积分t7t7xc212代回变量(xy5)7(xy5)7xc.2dy22(x1)(4y1)8xy115．dxdy222解：方程化为x2x116y8y18xy1(x4y1)2dxdydu1du29令1x4yu，则关于x求导得14，所以u，dxdx4dx41228分离变量dudx，两边积分得arctg(xy)6xc，是24u

7、9333原方程的解。62dyy2x16．522dx2xyxy3223322dy(y)2xdy3[(y)2x]3解：，，令yu，则原方程化为23232dxy(2xyxdx2xyx23u226du3u6xx2，这是齐次方程，令2udx2xux21x22ududz3z6dzdzzz6z，则zx，所以zx，，x，...........(1)xdxdx2z1dxdx2z1233当zz60，得z3或z2是（1）方程的解。即y3x或y2x是方程的解。22z11735当zz60时，变量分

8、离dzdx，两边积分的（z3)(z2)xc,2zzdx3733533