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1、第八章：多元函数微分8.1多元函数的极限与连续性8.1.1定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式的一切点P(x,y)∈D,都有
2、f(x,y)-A
3、<ε成立，则称常数A为函数f(x,y)当x→x0,y→y0时的极限，记作或f(x,y)→A(ρ→0),这里ρ=
4、PP0
5、。例设（x2+y2≠0），求证。因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P（x,y）
6、以任何方式趋于P0（x0,y0）时，函数都无限接近于A。定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。如果则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。8.1.2 性质性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域
7、内的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即。8.2偏导数的定义及计算法8.2.1定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),如果存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作或fx（x0，y0）。对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。例求z=x2
8、sin2y的偏导数。解。8.2.2高阶偏导数定理如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 8.3多元复合函数求导法则及实例定理如果函数u=φ(t)及ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。例设z=eusinv，而u=xy，v=x+y。求。解 8.4隐函数的求导公式8.4.1一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y
9、0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0，则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)，并有。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函
10、数z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)，并有。例设x2+y2+z2-4z=0，求，解设F（x,y,z）=x2+y2+z2-4z，则Fx=2x，Fz=2z-4。应同上面公式，得。再一次对x求偏导数，得。二、方程组的情形隐函数存在定理3设F（x,y,u,v）、G（x,y,u,v）在点P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0,y0,u0,v0）=0，G（x0,y0,u0,v0）=0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）：在点P（x0,y0,u
11、0,v0）不等于零，则方程组F（x,y,u,v）=0，G（x,y,u,v）=0在点（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u=u（x,y），v=v（x,y），它们满足条件u0=u（x0,y0），v0=v（x0,y0），并有。8.5 微分法在几何上的应用8.5.1空间曲线的切线与法平面设空间曲线Г的参数方称为x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，这里假定上式的三个函数都可导。[插图1]在曲线Г上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。根据解析几何，可得曲线在点
12、M处的切线方程为。切线的方向向量称为曲线的切向量。向量T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）}就是曲线Г在点M处的一个切向量。通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）=0。8.5.2曲面的切平面与法线 [插图2]设曲面Σ由方程F（x
