关於高中统计课程的一些说明 关於高中统计课程的一些说.pdf

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1、關於高中統計課程的一些說明江前佑一．目的：本文的主要目的在於說明信賴區間的計算公式的由來，主要也就是希望p1(−p)能解釋抽樣分佈的標準差的由來，其中p是母體的成功比例，n是n抽樣樣本的大小，並從中說明信賴區間與信心水準的意義。二．前言：當一個社會議題形成時，為瞭解社會大眾對此議題的認知時，在爭取時效及成本限制下，常使用的辦法是進行抽樣調查。以台北市長候選人的支持度為例，假設某一個電視台想知道所有的台北市民是否支持某一個候選人(把此候選人稱作甲)，最為準確的方法是調查所有有投票權的台北市民(稱為母群體)，把表示支持的人數除以所有願意投票的投票人口即為真正

2、的支持度，當然我們不去考慮民眾在接受調查的情況下不誠實的情況，然而，這樣的調查方法在時效與成本的考量上難以辦到，要耗費過多的人力、資源和時間，因此我們使用隨機抽樣的方式，希望從有投票權的台北市民中抽出幾個人(稱為樣本)，從這幾個人的支持情況來推估所有的人的支持情況。其中隨機樣本是極為重要的，因為這才具有代表性，從樣本推母體背後的依據也基於隨機樣本的假設。假設現在訪問了1000位台北市民，其中有501為表示支持甲候選人，501我們希望=.0501即可代表甲候選人的支持度，但是很清楚的這是不可能1000的，因為這僅僅代表了這1000人的支持度而已。這樣的估計

3、方式稱為點估計(pointestimate)，會產生誤差。另一種在報章雜誌上常見方式稱為區間估計(intervalestimate)，信賴區間即是一種區間估計。三．計算方法：以下為2006/3/13一則報導：民調：布希與伊拉克戰爭支持率跌到新低點【法新社樊劍萍】（法新社華盛頓十三日電）最新發表的民意調查結果顯示，美國民眾對布希總統的支持率跌到新低點，與此同時，美國民眾對布希總統處理伊拉克戰爭的信心也正在滑落。今日美國報、有線電視新聞網與蓋洛普民意調查機構發表的調查結果顯示，只有百分之三十六的受訪者「贊同」布希總統的施政表現。……這次民意調查於三月十日至十

4、二日進行，總共訪問了一千零一名成人，百分之九十五的信心水準下，這次民意調查的誤差率為加減三個百分點。在這個例子中和點估計一樣，它仍然試圖以樣本(1001位受訪者)的支持度36%，試圖來估計母群體(美國民眾)的支持度，但不同的是表示有95％的信心，誤差會在加減三個百分點以內，這也就得到所謂的「在95％的信心下的信賴區間(36%-3%,36+3%)」，以這樣的方式來說明隨機樣本所表示的支持度與真實的支持度之間的差距。我們將於第五部分再加以說明這個說法的意義，在此先說明信賴區間是如何求出。考慮對於一個議題的看法每一個人只有某種特質(從上例來說就是每一個美國人是

5、否支持布希與伊拉克戰爭)，把這項特質稱為成功，則母群體中的成功比例是p(具有成功特質的個數/母群體總數)。根據數學理論(於第四p1(−p)部份說明)得知誤差由.196×計算出來，其中n是從母體中抽取樣本n的大小，問題是由前言我們已經知道p難以測量，因此我們用隨機樣本中的成功比例pˆ(樣本中成功的個數/樣本總數)來估計p，得到信賴區間的計算公式：pˆ1(−pˆ)給定95％的信心水準→信賴區間是由pˆ±.196計算得知。以本n.0361(−.036)例來說pˆ=.036，誤差加減三個百分點是由.196×≈.003計算1001出來。如果是99％的信心水準只要把

6、1.96換成2.58即可。四．信賴區間計算公式的由來：定義：：：(樣本空間：)一項試驗中所有有可能發生的現象形成的集合稱為樣本空間，以S表示，樣本中的每一點(即每一個發生的現象)稱為一個基本事件。定義：(機率空間)設Ｓ是一個有限的樣本空間，F是Ｓ所有子集形成的集合，以及P是一個自F到ＲＲＲＲ(實數)的函數：P：Ｆ→ＲＲＲＲ且滿足下列條件：(a)對於任意事件A∈F，0≤P(A)≤1。(b)P(S)=1(全事件必然發生)。(c)若A,B∈F則P(A∪B)=P(A)+P(B)⇔A∩B=φ(互斥事件的加法性)則稱P為S上的機率函數，對於每個A∈F，P(A)叫做事

7、件A的機率，一個樣本空間S連同一個機率函數P，合稱為一個機率空間，記做(S,P)。定義：(隨機變數)設(S,P)是機率空間，一個隨機變數X就是樣本空間S上的一個實數值函數：Ｘ：Ｓ→ＲＲＲＲ令X(S)={X(a

8、)a∈S}，對一任意實數x∈R考慮下列集合0{

9、aa∈S且()Xa=x}⊂S。如果x∉X(S)，則此為空集合，表示為空事件；00如果x∈X(S)，則此為非空集合，表示為S中的一個非空事件，簡寫為0(X=x)，表示此事件的機率就直接寫成P(X=x)。00舉例來說，投擲一枚公正硬幣2次，樣本空間S={(正正),(正反),(反正),(反反)}，P依照古典

10、機率的定義每一個樣本空間中各基本事件出現的機會均等，定義P(正正)=P(正反)=