2014年考研数学二真题与解析.pdf

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1、2014年考研数学二真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）11（A）(2,)（B）(1,2)（C）(,1)（D）(0,)22【定位】无穷小比较的定义，等价无穷小代换，简单题112121【详解】当x0时，ln(12x)~(2x)2x，(1cosx)~(x)x，要满足题目要1221求需要2，解得(1,2)，应该选（B）．12．下列曲线有渐近线的是2（

2、A）yxsinx（B）yxsinx121（C）yxsin（D）yxsinxx【定位】求渐近线的问题，属于课堂强调的基本题型【详解】对于选项（A），任意点上均有定义，故无铅直渐近线；lim(xsin)x不存在，故无水平渐近线；xxsinxsinxklim1lim1xxxx（点评：某些同学到此处就得出斜渐近线存在是错误的，必须检查b是否存在）blim(xsinx1)xlimsinx不存在，故无斜渐近线；xx1xsinx1111对于选项（C），klim1lim

3、sin1，blim(xsin1)xlimsin0，xxxxxxxxx所以存在斜渐近线yx，应该选（C）3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（）（A）当f'(x)0时，f(x)g(x)（B）当f'(x)0时，f(x)g(x)（C）当f(x)0时，f(x)g(x)（D）当f(x)0时，f(x)g(x)Page1of12【定位】此题考查曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较

4、熟悉的话，可以直接做出判断。如果对区间上任意两点x,x及常数01，恒有f(1)xx(1)f(x)f(x)，则曲线是凹的．121212（点评：很多同学对上述结论感觉陌生，事实上就是同济版课后习题P183的19题。）显然此题中x0,x1,x，则(1)f(x)f(x)f(0)(1x)f(1)xg(x)，而1212f(1)xxf(x)，故当f(x)0时，曲线是凹的，即12f(1)xx(1)f(x)f(x)，也就是f(x)g(x)，应

5、该选（D）1212【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，则F(0)F(1)0，且F"(x)f"(x)。故当f(x)0时，曲线是凹的，从而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是f(x)g(x)，应该选（D）。【详解3】结合图形进行速判g(x)f(0)(1x)f(1)x[f(1)f(0)]xf(0),可视为连接点(0,(0))(1,(1))f，f的直线的解析。而当

6、f(x)0时，曲线是凹的，故f(x)g(x)，应该选（D）。2xt7,4．曲线上对应于t1的点处的曲率半径是（）2yt4t11010（Ａ）（Ｂ）(Ｃ）1010（Ｄ）51050100【定位】曲率公式（多次强调数二考到的可能性很大），参数方程求导（强调过数一，数二常考）y"1【详解】曲线在点(x,f(x))处的曲率公式K，曲率半径R．(1y'2)3K22dydy/dt2t42dydy'/dxt21本题中1，，23dxdx/dt2ttdxdx/dt2tty"11对应于t1

7、的点处y'3,y"1，所以K，曲率半径R1010．(1y'2)31010K应该选（C）Page2of1225．设函数f(x)arctanx，若f(x)xf'()，则lim（）2x0x211（Ａ）1（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）323fx()【详解】由于f(x)xf'()，所以f'()。x11f(x)arctanx2xarctanx而f'(x)，所以可知f'()，解得，221x1xxarctanx1332Taylor~x(xx)o(x)xarctanx31lim2

8、lim2lim3．（点评：读者也可以用洛必达求此极限）x0xx0xarctanxx0x32点评：此题思路上要先考虑求出的表达式2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足0及xy22uu0，则（）．22xy（A）u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得