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1、龙腾四海团队计算方法提纲一、参考教材本提纲根据《计算方法》张池平主编编写，基本上涵盖了教材上的一些重点内容，一些晦涩难懂以及考试不会涉及的内容未总结在内，有兴趣的可以查阅相关资料。二、阅读方法本提纲根据知识的重要程度标识不同的颜色，其中红色内容为历年考试中经常涉及的重点内容，是基本内容，而蓝色内容是考试中可能涉及的内容，在掌握基本内容的前提下，阅读此部分。最后，黄颜色的内容是考试涉及较少的内容，在掌握前两部分的内容前提，最好理解本部分内容。龙腾四海团队第二章插值方法1、本章主要知识框架：2、主要知识点（1）拉格朗日插值??(?)=∑????(?)?=0其中(?−?0)
2、⋯(?−??−1)(?−??+1)⋯(?−??)??(?)=(??−?0)⋯(??−??−1)(??−??+1)⋯(??−??)本公式的基本思想：插值基函数在插值点处函数值为1，其余插值点函数值为0。（2）牛顿型插值多项式φn(x)=f(?0)+(?−?0)f(?0,?1)+(?−?0)(?−?1)f(?0,?1,?2)+⋯+(?−?0)⋯(?−??−1)f(?0,?1,⋯,??)（3）均差一阶均差(f(??)−f(??))f(??,??)=(??−??)二阶均差(f(??,??)−f(??,??))f(??,??,??)=(??−??)N阶均差(f(?0,?1,⋯,
3、??−1)−f(?1,?2,⋯,??))f(?0,?1,⋯,??)=(?0−??)龙腾四海团队（4）插值余项?(?+1)(?)R(?)=?(?)(??−??)其中?(x)=(?−?0)(?−?1)⋯(?−??)（5）分段线性插值(?−?1),?0≤?≤?1?0(?)={(?0−?1)0,?1≤?≤??(?−??−1),??−1≤?≤??(??−??−1)??(?)=(?−??+1),??≤?≤??+1(??−??+1){0,[?,?]−[??−1,??+1](?−??−1)(?)={,??−1≤?≤????(??−??−1)0,?0≤?≤??−1分段线性插值的基本思想
4、：在每个小区间中使用拉格朗日插值中最简单的形式—线性插值，其基本理念不便，即在插值点处插值基函数为1，其余为0，只不过其线性变化的范围限制在一个区间。其图像如下所示：111x0x1Xj-1xjXj+1Xn-1xnXj+1（6）埃尔米特插值函数值微商值?0?1?0?1ℎ0(?)1000ℎ1(?)0100?0(?)0010?1(?)0001埃尔米特插值基本思想：埃尔米特插值的基本思想与拉格朗日插值的基本思想基本一致，只不增加了微商值。记忆埃尔米特插值时，记住上述表格自行推导即可。3、总结在本章中，主要讲述插值方法，众多插值方法的基本思想大同小异，即构造插值基函数使其在插值
5、点处函数值为1，其余插值点为0，只不过是插值的区间龙腾四海团队不同，或引入微商值等。重点掌握拉格朗日插值、插值余项以及分段线性插值等，牛顿型插值、均差需要理解。第三章数值积分1、本章知识框架：2、主要知识点（1）求积公式a.梯形求积公式??−?∫?(?)??=(?(?)+?(?))2??基本思想：利用过(?,?(?))，(?,?(?))的直线与?轴所围面积近似∫?(?)??。?b.抛物线求积公式??−??+?∫?(?)??=(?(?)+4?()+?(?))62??+??+?基本思想：利用过(?,?(?))，(,?()),(?,?(?))的抛物线与?轴所围面22?积近似
6、∫?(?)??。?c.牛顿-科茨求积公式??∫?(?)??=∑???(??)??=0上述求积公式的基本思想：利用拉格朗日插值多项式近似表示函数?(?)，之后再计算积分。其中梯形求积公式和抛物线求积公式是牛顿-科茨求积公式在n=1、2的特殊形式。（2）复化求积公式龙腾四海团队a.复化梯形求积公式?−1?ℎ??=∫?(?)??=(?(?)+?(?)+∑?(?+?ℎ))2??=11?2?=(??+??)2??−???=ℎ∑?(?+(2?−1))2??=1基本思想：在区间上使用梯形求积公式b.复化抛物线求积公式??−1?ℎ∫?(?)??=(?(?)+?(?)+4∑?(?2?−
7、1)+2∑?(?2?))3??=1?=1?−?其中n=2m，h=?基本思想：在每个小区间上使用抛物线求积公式。复化求积公式基本思想：在每个小区间上使用拉格朗日插值多项式构造相应的?(?)，然后利用插值多项式求解积分。（3）误差估计a.代数精度的定义（记忆）b.梯形求积公式的代数精度为1，抛物线求积公式的代数精度为3，牛顿-科茨求积公式的代数精度至少为n。当n为偶数时，牛顿-科茨求积公式的代数精度可达n+1。c.证明：当n为偶数时，牛顿-科茨求积公式的代数精度可达n+1。d.梯形求积公式的误差??−?(?−?)3R(?)=∫?(?)??−(?(?)+?
