复变函数(第四版余家荣).ppt

《复变函数(第四版余家荣).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章复函数§1.解析函数1.极限与连续性单值函数：对于G中的每个z，有唯一的w与其对应。多值函数：至少存在一个z0属于G，与z0对应的w有两个或两个以上。复变函数极限的定义当时，当时，当时，设则当且仅当证明如果则使得当时，命题所以反之，若则当时，所以,当时连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数连续函数的复合函数为连续函数例argz02.导数·解析函数定义定义在区域内解析在一点解析在闭区域上解析如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.证明设f(z)在点a可导，则注解1“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”

2、、“全纯”、“正则”等；注解2解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解3函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；四则运算法则复合函数求导法则注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。反函数求导法则证明因为所以Cauchy-Riemann方程问题设可微，则首先设h为实数，得令得再令t为实数，得令得由得Cauchy-Riema

3、nn方程例在处满足上述定理中的条件，但f(z)在不可微.证明C-R条件证明设在点处有导数其中a和b为实数，当时，其中满足条件注：§2.初等函数实指数函数的性质1.指数函数指数函数的定义域的扩充由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有所以，因此，定义称作复指数函数，记作复指数函数的性质：注：Euler公式问题：指数函数的几何性态三角函数由于Euler公式，对任何实数y，我们有：所以有定义三角函数的性质（2）cosz是偶函数，sinz是奇函数证明（3）cosz和sinz是以2π为周期的周期函数:证明证明证明定义上述四个函数在各自的定义域内解析，且定义

4、双曲正弦双曲余弦双曲正切初等多值函数1.幅角函数单值分支.连续单值分支.上沿下沿思考题：定义设是一个多值函数，是的任意一个邻域,是内任一绕一周的简单闭曲线.在上取一点,我们从与对应的多个值中取出一个与其对应，设为,让点从出发，沿绕一周，回到,对应的值从连续变化为如果则称为的一个支点.对数函数定义注意：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2π的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。注意：对数函数的基本性质注：问题：对数函数的主值相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值为：连续单值分支.对数函数的主值支.支割线.证明注：对数函数的映射

5、性质幂函数定义其中应当理解为对它求导数的那个分支.幂函数的映射性质反三角函数