初中几何常用辅助线专题.doc

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1、初中几何常见辅助线做法一、三角形常见辅助线做法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移例1、如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。【分析】：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD＝CD（中线定义）在△ACD和△EBD

2、中∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。例2、如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF

3、中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF【备注】：上题也可加倍FD，证法同上。当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例3、如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。方法2

4、：含有角平分线的题目，利用角平分线的性质做垂线，或构造出全等三角形例4、如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。例5、已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）【分析】：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例6、已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。【分析】：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，

5、近而构造出等腰三角形。方法3：证明两条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法例7、如图2-2，在△ABC中，∠A=90 °，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+ADDCBA【分析】：截长法：在BC上取BE=AB,连接DE,证明△ABD≌△EBD，则AD=DE=CE,结论可证补短法：延长BA到F，使BF=BC,连接DF,证明△BCD≌△BFD，∠F=∠C=45°，AF=AD,结论可证例8：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。【分析】：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲

6、证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。证明：（截长法）在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中∵∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形对应边相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP－PC＜AB－AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，在△ABP和△AMP中∵∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有：C

7、M＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB－AC＞PB－PC。一、梯形常用辅助线做法通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。延长两腰，转化为三角形。作高，转化为直角三角形和矩形。中位线与腰中点连线。例1.如图所示