数学建模习题及答案.docx

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1、数学建模习题及答案【篇一：数学建模习题答案】t>中国地质大学能源学院华文静1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时

2、着地的。模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度?这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立

3、直角坐标系来解决问题。设椅脚连线为长方形abcd,以对角线ac所在的直线为x轴，对称中心o为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕o点沿逆时针方向旋转角度?后，长方形abcd转至a1b1c1d1的位置，这样就可以用旋转角?（0????）表示出椅子绕点o旋转?后的位置。其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是?的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是?的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是?的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任

4、意的?，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形abcd是对称中心图形，绕其对称中心o沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但a,c和b,d对换了。因此，记a，b两脚与地面竖直距离之和为f(?)，c,d两脚之和为g(?)，其中??0，?，使得f(?0)?模型求解如果f(0)???g(?0)成立。g(0)?0，那么结论成立。与g(0)不同时为零，不妨设f(0)?0,g(0)?0.这时，将长方形abcd绕点如果f(0)o逆时针旋转角度?后，点a,b分别于与c，d互换，但长方形abcd在地面上所处的位g(?0)；根据连续函数介值定理，必存在?0?使得h(?

5、0)?0,即f(?0)?（0，?），又因为f(?0)?g(?0)?0,所以f(?0)?于是，椅子的四只脚同时着地，g(?0)?0。放稳了。模型讨论2.人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。符号说明x1：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;x2：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0；x3：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1

6、，否则为0；x4：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；sk?(x1,x2,x3,x4):状态向量，代表时刻k左岸的状态；dk?(x1,x2,x3,x4):决策向量，代表时刻k船上的状态；模型建立限制条件：x1?0???x2?x3?2x?x?24?3初始状态：s0?(1，1，1，1),d0?(0，0，0，0)模型求解根据乘法原理，四维向量共有2（x1,x2,x3,x4）4?16种情况根据限制条件可以排除（0,1,1,1）（0，1,0，1）（0,0,1,1）三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素d?(1，1，1，0),(1，0，1，0),

7、(1，0，0，1),(1，0，0，0),(0，0，,0，0),状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；??（1,1,1,1）?（0,0,0,0）目标：确定有效状态集合，使得在