云南大理下关三中 李荷云.ppt

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1、立几问题的向量解法云南大理下关三中李荷云专题　　立几问题的向量解法高考复习建议传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式”的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决问题，无须添加辅助线。用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转化。用空间向量解决的立体几何问题主要有――平行或共面问题――垂直问题――

2、空间角问题――空间距离问题●用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。（1）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为，那么∥∥（2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。（3）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。或直线a平行平面表示以为方向向量的直线与平面平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。附：1、共线向量定理：非零向量与向量共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ，使2、共面向量定理：不共线的向量、与向量共面的充要条件是存在唯一确定的实数x

3、、y，使3、向量基本定理：已知不共面的向量、和，则空间任一向量可以表示为、、的线性组合，即存在一组唯一确定的实数x、y、z，使例1.已知ABC―A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，求证AB1∥平面DBC10zxy证明：取AB的中点为原点，如图建立坐标系。设AB＝则A(例2、（2004天津）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1证明PA∥平面EDB（2）证明PB⊥平面EFD（3）求二面角C－PB－D的大小。注：证明线面平行问题可以有以下三种办法（1利用线线平行证明线面平行;

4、（2）   与、共面（直线a、b∈α）证明线面平行；（3）     ∥α（为平面α的法向量）例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC，求证：A1A⊥BC例4、如图，正方体的棱长为a,F是CC1的中点，D是下底面的中心，求证：A1O⊥平面BDF例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中点,EF与BD交与G求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当的值

5、为多少时，能使D1M垂直平面B1EF?请给出证明。●用向量计算空间的角1、异面直线所成角的定义直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。异面直线所成角的范围是。2．直线和平面所成角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。由定义知，直线与平面所成的角θ∈[0，]二面角的范围是[0，π]3．二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平

6、面角是多少度，就说这个二面角是多少度。⑴求异面直线所成角的公式：其中是异面直线上的方向向量。求线面角大小的公式：其中是平面的法向量。求二面角大小的公式：或其中分别是二面角的两个半平面的法向量。⑵用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。⑶注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值A1C1F1B1

7、D1ABC··解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1xyz则B（1,0,0)A（0，1，0）；例题所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值注：由向量知识知两条异面直线所成的角θ，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系（其中分别是直线上的向量）例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：=（3，0，0）；A（0，0，0）；B（3，0，0）；C（3，3，0）；D（0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（

8、0，0，4