屈婉玲全套配套课件离散数学 ch8.ppt

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1、第八章函数主要内容函数的定义与性质函数定义函数性质函数运算函数的逆函数的合成双射函数与集合的基数18.1函数的定义与性质主要内容函数定义与相关概念函数定义函数相等从A到B的函数f:ABBA函数的像与完全原像函数的性质单射、满射、双射函数的定义与实例构造双射函数某些重要的函数2函数定义定义8.1设F为二元关系,若x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数对于函数F,如果有xFy,则记作y=F(x),并称y为F在x的值.例F1={,,}F2={,

2、}F1是函数,F2不是函数定义8.2设F,G为函数,则F=GFG∧GF如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件：(1)domF=domG(2)x∈domF=domG都有F(x)=G(x)函数F(x)=(x21)/(x+1),G(x)=x1不相等,因为domFdomG.3从A到B的函数定义8.3设A,B为集合,如果f为函数,domf=A,ranfB,则称f为从A到B的函数,记作f：A→B.例f：N→N,f(x)=2x是从N到N的函数,g：N→N,g(x)=2也是从N到N的函数.定义8.4所有从A到B的函数

3、的集合记作BA,符号化表示为BA={f

4、f：A→B}

5、A

6、=m,

7、B

8、=n,且m,n>0,

9、BA

10、=nmA=,则BA=B={}A≠且B=,则BA=A=4实例例1设A={1,2,3},B={a,b},求BA.解BA={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>

11、}f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}5函数的像和完全原像定义8.5设函数f：A→B,A1A,B1B(1)A1在f下的像f(A1)={f(x)

12、x∈A1},函数的像f(A)(2)B1在f下的完全原像f1(B1)={x

13、x∈A∧f(x)∈B1}注意：函数值与像的区别：函数值f(x)∈B,像f(A1)B一般说来f1(f(A1))≠A1,但是A1f1(f(A1))例设f：N→N,且令A={0,1},B={2},那么有f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}

14、={0,2}f1(B)=f1({2})={1,4}6函数的性质定义8.6设f：A→B,(1)若ranf=B,则称f:A→B是满射的(2)若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得f(x)=y,则称f:A→B是单射的(3)若f:A→B既是满射又是单射的,则称f:A→B是双射的例2判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1(2)f:Z+→R,f(x)=lnx,Z+为正整数集(3)f:R→Z,f(x)=x(4)f:R→R,f(x)=2x+1(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其

15、中R+为正实数集.7例题解答解(1)f:R→R,f(x)=x2+2x1在x=1取得极大值0.既不是单射也不是满射的(2)f:Z+→R,f(x)=lnx是单调上升的,是单射的.但不满射,ranf={ln1,ln2,…}.(3)f:R→Z,f(x)=x是满射的,但不是单射的,例如f(1.5)=f(1.2)=1(4)f:R→R,f(x)=2x+1是满射、单射、双射的,因为它是单调函数并且ranf=R(5)f:R+→R+,f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2.该函数既不是单射的也不是满射的8实例例3对于给定的集合A和B构造双射

16、函数f:A→B(1)A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}(2)A=[0,1],B=[1/4,1/2](3)A=Z,B=N(4),B=[1,1]9解答(1)A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={f0,f1,…,f7},其中f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1

17、,1>,<2,0>,<3,1>},f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.令f:A→B,f()=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({