热工基础与应用 第3版 教学课件 作者 傅秦生第十章 导热问题的数值求解基础.ppt

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1、热工基础与应用第十章导热问题的数值求解基础内容简介：介绍数值求解物理问题的基本思想，以二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的基本过程。学习重点：掌握从能量守恒定律出发建立离散方程的方法代数方程的迭代求解方法热工基础与应用§10-1数值求解的基本思想一、基本思想分析解：对导热微分方程在定解条件下的积分求解数值解：用求解区域上空间、时间坐标系中的离散点的温度分布代替连续的温度场，用大量的代数方程代替微分方程离散连续代数方程微分方程目的：获得导热物体的温度分布及热流量热工基础与应用热工基础与应用二、基本步骤建立数学描写解

2、的分析(热流，温度)求解代数方程设立物理量的初值(迭代法)建立节点物理量的代数方程确定节点（区域离散化）改进初场是否是否收敛物理问题简化热工基础与应用yx0HWh,tfq=0h,tfq=0物理问题：2D,矩形域,稳态,无内热源，常物性的导热问题,IIBC&IIIBC热工基础与应用1.数学描写热工基础与应用将求解区域按照一定规则划分为许多小区域，这个过程称作区域离散。每个小的区域(控制容积,CV)的物理量值由一个点—节点(node)来表示2.区域离散(domaindiscretization)xymn热工基础与应用四种几何

3、要素：(1)节点（node)：所求解未知量的位置(2)控制容积（controlvolume)：节点的影响域(3)界面（interface)：控制容积的分界位置(4)网格线（gridlines)：沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇热工基础与应用每一个节点都与它相邻的节点存在一定的关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关系式（代数方程式），此关系式又称作节点的离散方程。3.建立节点物理量的代数方程(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)热工基础与应用把所有节点的离散方程联立起来，会组成一个封闭的方

4、程组，对代数方程组的求解可采用直接解法或迭代求解，更多的是采用迭代解法。迭代求解，先设立迭代初场4.求解代数方程组对解的结果进行进一步的分析，获得定性或定量上的一些新的结论。5.解的分析热工基础与应用§10-2稳态导热问题数值计算物理问题以一个二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的的具体过程。如图所示：二维矩形区域内的稳态、不含内热源、常物性的导热问题。yx0HWh,tfq=0h,tfq=0热工基础与应用数学描写热工基础与应用区域离散将二维矩形区域按照下图的格式进行离散化，相邻两个节点间的距离称为步长，记为Δx、Δ

5、y。区域内部的节点称为内节点，边界上的节点称为外节点。xymn热工基础与应用一、内部节点的有限差分方程2.依据定律：能量守恒定律；Fourier导热定律1.基本思想：对每个节点所代表的控制体列能量守恒方程式，从而得出该点与其它节点的关系式(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)nesw热工基础与应用3.具体推导(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)nesw规定热量进入为正热工基础与应用思考：如果(m,n)有内热源，离散方程的表达式是什么？流入控制体的总热流量＋控制体内

6、热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量能量守恒：yx0HWh,tfq=0h,tfq=0热工基础与应用为不失一般性，假设物体内部有内热源，Δx及Δy均匀1.平直边界xyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)二、边界节点的有限差分方程式热工基础与应用2.外角点xy(m,n-1)(m-1,n)(m,n)qw热工基础与应用3.内角点xyqw(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)(m+1,n)热工基础与应用4.qw处理①绝热qw=0③IIIBC，qw=h(tf-tm,n)，tm,n要合并

7、②给定qw≠0，代入即可，以传入热量为正+，-小结热工基础与应用写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法三、节点方程组求解热工基础与应用1.迭代法(iteration)假设初场，①Jacobi迭代，迭代代入值总为上轮得到的值②Gauss-Seidel迭代，将本轮得到的值也代入，计算机内存更省不断更新，收敛(convergence)热工基础与应用在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第k次迭代的数值可以求得节点温度：热工基础与应用是否合

8、理？分母可能为零2.迭代收敛判断热工基础与应用3.主对角占优原则（diagonallydominant）迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，用迭代法求解代数方程，一定收敛