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1、平面几何是由点、线、角、面组成的，初中平面几何中有一些线段之间的重要等量关系，同学们如果能够熟练掌握，对自己数学水平的提高是大有益处的。☞直角三角形☑勾股定理地球人都知道，两直角边的平方和等于斜边的平方。多种证明方法请参考文章：你可能不了解的勾股定理。另外，我们还需要记住如下试卷中经常出现的勾股数：【3,4,5】【5,12,13】【7,24,25】【8,15,17】【9,40,41】。☑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如下图，D是Rt△ABC斜边AB上的中点，则AD=BD=CD.用倍长中线法证明△ADC≌
2、BDE,Rt△ABC≌Rt△EBC即可。☑30°角对应的直角边等于斜边的一半如图，做斜边上的中线，易证下面的小三角形是一个等边三角形。☑射影定理图中AD是直角三角形斜边上的高，则有图下面的三个等量关系。分别证明左右两个小直角三角形和大三角形相似，以及两个小直角三角形相似，即可得出结论。☞一般三角形☑中位线定理图中D、E分别是边AB,AC的中点，则DE//BC且DE=BC/2.倍长DE再证明BCFD是平行四边形即可。☑三角形重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍在三角形的七颗心一文中我们介绍了重心是三角形三条中
3、线的交点。如图，AG=2GD,BG=2GE,CG=2FG.联结EF,由中位线定理，易知EF//BC且EF=BC/2.易得BG=2GE,CG=2FG.☑内角平分线定理如图，AP是∠BAC的内角平分线，则☑外角平分线定理如图，AP是∠BAC的外角平分线，则作CE//AB交AP于E,则∠CEA=∠DAE=∠CAE，则☑Stewart定理在三角形中随手从A点画一条直线AP，交底边BC于P，则有看去来有些复杂，不要着急，我们设AP把BC分成m：n的两部分。那么公式可以化简为更多相关知识请参考文章：你也能当数学家，Ste
4、wart定理探析。☑正弦定理设三角形一边长为a,对应角为∠A，三角形外接圆的半径为R,则a/sin∠A=2R.同理，b/sin∠B=c/sin∠C=a/sin∠A=2R.如图，∠A和∠D都是弧BC所对应的圆周角，所以∠A=∠D.又直径BD对应的圆周角∠BCD=90度，所以a=BDsin∠D=BDsin∠A=2Rsin∠A.得证！☑余弦定理在三角形ABC中，设AB=c,BC=a,AC=b,则有余弦定理的证明多达十几种，这里先给出一个利用勾股定理且三角形是锐角三角形的简单情况证明。作高AD⊥BC,对直角三角形AD
5、C应用勾股定理即可以得到，钝角三角形和其它边的关系类似。☞四边形☑梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。如图，把AD移到CG,并利用三角形中位线定理即可证明。☑平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和对下图利用勾股定理即可证明☑托勒密定理圆的内接凸四边形两两对边的乘积和等于两对角线的乘积。即下图中AC×BD=AD×BC+AB×CD证明：作∠BAF=∠CAD,则△ABF和△ACD相似，可得BF×AC=AB×CD.又△ABC和△AFD相似，可得DF×AC=BC×AD.两式相加，得证。☑圆
6、外接四边形两两对边的和相等如图，AD+BC=AB+CD.因为切线AE,AF等分别相等，易证。☞圆☑圆幂定理1：相交线定理如图，AE×EB=DE×EC证明左右两个三角形相似即可。☑圆幂定理2:切割线定理如图，PT为切线，则因为OT⊥PT，倒角可得弦切角∠PTA=圆周角∠PBT.于是△PTA和△PBT相似，可得剩余部分易证。☑鸡爪定理点I是△ABC的内心，连接并延长AI交外接圆于点D，则DB=DI=DC.三条线段很像一个鸡爪形状，所以称之为鸡爪定理。如上图倒角即可证明∠BID=∠IBD,故BD=DI,同理DC=D
7、I.☑欧拉公式如图，O是△ABC外心，外接圆半径为R,I是△ABC内心，内接圆半径为r,则证明：作IF⊥AC,连EO交外接圆于G，连GC.△GCE和△AFI相似,于是AI×EC=GE×FI=2Rr根据鸡爪定理，AI×EI=AI×EC=2Rr连接OI并延长分别交外接圆于MN,则IM×IN=AI×EI=2Rr即(R+OI)(R-OI)=2Rr，整理得☞相似三角形☑A字型线束模型图中DE//BC,则利用相似可证☑8字型线束模型图中DE//BC,同样利用相似可证☑梯形的斯坦纳定理梯形BCEF中，BE,CF交于A点；B
8、F,CE交于O点,连接并延长AO分别交上下两底于G点，D点。则EG=FG,BD=CD.利用A点的A字型线束以及O点的8字型线束，即可得出EG/GF=GF/EG.故EG=FG.☑梅涅劳斯定理X,Y,Z分别是三角形ABC的三条边AB,AC,BC或者其延长线上的点，如果X,Y,Z三点共线，则有证明：分别从A,B,C向直线XYZ作高，☑塞瓦定理X,Y,Z分别是三角形ABC的三条边AB,AC,BC或者其延长线
