微积分数学公式.doc

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1、微积分　　微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。　　积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与科学应用联系着发展起来的　　微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有

2、助于这些应用的不断发展。编辑本段一元微分定义　　设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)–f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。　　通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量

3、的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义　　设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当

4、Δx

5、很小时，

6、Δy－dy

7、比

8、Δx

9、要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。编辑本段多元微分多元微分　　多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。　　ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x、y)处的全增量，（其中A、B不依赖于ΔX

10、和ΔY，而只与x、y有关，ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(12),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。　　总的来说，微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。积分有两种　　定积分和不定积分。　　积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。　　一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。　　其中：[F(

11、x)+C]'=f(x)　　一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。　　定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。详见牛顿——莱布尼茨公式。一阶微分与高阶微分　　函数一阶导数对应的微分称为一阶微分;　　一阶微分的微分称为二阶微分;　　.......　　n阶微分的微分称为(n+1)阶微分　　即：d(n)

12、y=f(n)(x)*dx^n(f(n)(x)指n阶导数，d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方)　　含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为　　F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，　　其中F是t，yt,Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。　　含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函

13、数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为　　F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,　　其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。　　常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。