江苏专用2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其运算教案含解析2019083115.docx

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1、§8.5　空间向量及其运算考情考向分析　本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空

2、间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向16量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b

3、〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b

12、2＋a3b3＝0模

13、a

14、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示　不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示　不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示　无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b

15、共面．(　√　)16(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)题组二　教材改编2．[P83T3]如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为＝________.答案　－a＋b＋c解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3．[P105T1(4)]已知平面α内有一个点

16、M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)．若点P(x,3,3)也在平面α内，则x＝________.答案　2解析　由题意知，＝(x－1,4,1)，∵n·＝0，∴6(x－1)－12＋6＝0，∴x＝2.题组三　易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3，2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________．答案　平行解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.5．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则

17、

18、b

19、＝________.16答案　2解析　∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，∴

20、b

21、＝＝2.6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.答案　解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.题型一　空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)＋.解　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋