高考数学压轴大题突破练（四）函数与导数（2）文.doc

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1、(四)函数与导数(2)1．(2018·成都模拟)已知f(x)＝lnx－ax＋1(a∈R)．(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当a＝2，且x≥1时，f(x)≤ex－1－2恒成立．(1)解　∵f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R，∴f′(x)＝－a＝，当a≤0时，f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间，当a>0时，增区间为，减区间为.(2)证明　当x∈[1，＋∞)时，由(1)可知当a＝2时，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝－1，再令G(x)＝ex－1－2，在x∈[1，＋∞)上，G′(x)＝ex－1>0，G(x)单调递增，所以G(x)≥G(1

2、)＝－1，所以G(x)≥f(x)恒成立，当x＝1时取等号，所以原不等式恒成立．2．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)当x≥1时，f(x)≤g(x)，求实数λ的取值范围．解　(1)由题意得f′(x)＝lnx＋1，g′(x)＝2λx，7又f(1)＝g(1)＝0，且函数y＝f(x)与y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，∴f′(1)＝g′(1)，则2λ＝1，即λ＝.(2)设h(x)＝xlnx－λ(x2－1)，则h(x)≤0对∀x∈

3、[1，＋∞)恒成立．∵h′(x)＝1＋lnx－2λx，且h(1)＝0，∴h′(1)≤0，即1－2λ≤0，∴λ≥.另一方面，当λ≥时，记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝－2λ＝.当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)≤0，∴φ(x)在[1，＋∞)内为减函数，∴当x∈[1，＋∞)时，φ(x)≤φ(1)＝1－2λ≤0，即h′(x)≤0，∴h(x)在[1，＋∞)内为减函数，∴当x∈[1，＋∞)时，h(x)≤h(1)＝0恒成立，符合题意．当λ<时，①若λ≤0，则h′(x)＝1＋lnx－2λx≥0对∀x∈[1，＋∞)恒成立，∴h(x)在[1，＋∞)内为增函数，∴当x∈[1，

4、＋∞)时，h(x)≥h(1)＝0恒成立，不符合题意．②若0<λ<，令φ′(x)>0，则1φ(1)＝1－2λ>0，即h′(x)>0，∴h(x)在内为增函数，7∴当x∈时，h(x)>h(1)＝0，不符合题意，综上所述，λ的取值范围是.3．(2018·山东省名校联盟模拟)已知f(x)＝xex＋a(x＋1)2＋.(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)当x>－2时，f(x)≥0，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝(x＋1)ex＋2a(x＋1)＝(x＋1)(ex＋2a)，若函数f(x)在x＝1处取

5、得极值，则f′(1)＝0，所以a＝－，经检验，当a＝－时，函数f(x)在x＝1处取得极值．(2)f′(x)＝(x＋1)ex＋2a(x＋1)＝(x＋1)(ex＋2a)，①a≥0时，当－2－1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(－1)＝0，∴当x>－2时，f(x)≥0成立．②a<0时，令ex＋2a＝0，得x＝ln(－2a)，当ln(－2a)>－1，即a<－时，当－2ln(－2a)时，f′(x)>0；当－1

6、，＋∞)上为增函数，在(－1，ln(－2a))上为减函数，又f(－1)＝0，∴f(x)在(－1，ln(－2a))上小于零，不符合题意，舍去．当ln(－2a)＝－1，即a＝－时，当－2－1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，又f(－1)＝0，当x∈(－2，－1)时，f(x)<0，不符合题意，舍去；当－2－1时，f′(x)>0，当ln(－2a)

7、，－1)上为减函数，又f(－1)＝0，要使f(x)≥0恒成立，则f(－2)≥0，则a≥，又∵－－1时，f′(x)>0，当－20

8、时，xex－elnx>x3＋x2.(1