2012数列求和及数列的综合应用.ppt

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1、数列求和及数列的综合应用1.等差、等比数列的求和公式（1）等差数列前n项和公式：Sn=na1+·d=（2）等比数列前n项和公式：①q=1时，Sn=na1②q≠1时，Sn=.2.数列求和的方法技巧（1）转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.（2）错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.（3）倒序相加法这是在推

2、导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.（4）裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.3.数列的应用题（1）应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.（2）数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中

3、，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.一、错位相减法求数列的和例1已知f（x）=logax（a>0且a≠1）,设f（a1）、f（a2）、…、f（an）（n∈N*）是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a为常数，求证：{an}成等比数列；（2）若bn=anf（an）,{bn}的前n项和是Sn，当a=时，求Sn；（3）令cn=anlgan问是否存在a,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项，若存在，求出a的范围；若不

4、存在，说明理由.思维启迪（1）用定义=q（n≥2）为常数.（2）观察bn的通项，有两部分构成，一部分为等差，一部分为等比，可考虑错位相减.（3）实质上讨论n∈N+时，cn

5、2n+2①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3②①-②得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-（n+1）·2n+3=16+-（n+1）·2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.（3）解cn=anlgan=a2n+2lga2n+2=（2n+2）a2n+2lga.要使cn-11时，即n<（n+1）a2,对一切n≥2恒成立.②当0

6、即n>（n+1）a2n>对一切n≥2成立.只需2>,∴01.探究提高第（1）题判定{an}是等比数列常利用等比数列的定义.第（2）题求Sn前必先求通项an，通过分析an的特点来选择求和方法.在第（3）问解不等式求a的取值范围时，实质上是恒成立问题.变式训练1（2009·潍坊模拟）已知等差数列{an}和正项等比数列{bn},a1=b1=1，a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若cn=2an·，求数列{cn}的前n项和Tn.解（1）设等差

7、数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q,由题设知a3+a5+a7=9，∴3a5=9,∴a5=3.则d=,∴an=a1+（n-1）d=.∴a7=4.又∵=b3·b7=16,∴=b3·b7=16,又b5>0，∴b5=4,∴q4==4，又q>0.∴q=,∴bn=b1·qn-1=.（2）cn=2an·=（n+1）·2n-1,∴Tn=c1+c2+…+cn=2+3·2+4·22+…+（n+1）·2n-1①2Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+（n+1）·2n②①-②得-Tn=2+2+22+…+2n-1-（n

8、+1）·2n=-（n+1）·2n+1=-n·2n∴Tn=n·2n.二、裂项相消求数列的前n项和例2等差数列{an}各项均为正整数，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=64，