数值分析,考博必考课程,研一考试复习专用2-2.ppt

《数值分析,考博必考课程,研一考试复习专用2-2.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2三角分解法一、矩阵的三角分解1.定义把一个n阶矩阵A分解成两个三角形矩阵乘积的形式称为三角分解。三角分解的常用形式为：其中：L为下三角阵，U为上三角阵。若L为单位下三角阵（对角元素都是1），U为上三角阵，则三角分解称为杜利特尔（Doolittle）分解。若L为下三角阵，U为单位上三角阵（对角元素都是1），则三角分解称为克劳特（Crout）分解。123456782.矩阵的三角分解基本定理定理设n阶矩阵若A的顺序主子式即则存在唯一的杜利特尔（Doolittle）分解其中：L为单位下三角阵，U为非奇异的上三角阵。910111213杜利特尔（Doolittle）分解法（直接三角

2、分解法）设方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式都不等于零，存在唯一的杜利特尔（Doolittle）分解：14在A中元素已知的前提下，由矩阵的乘法原理，可直接求出矩阵L和U中的各元素，方法如下第一步，求U的第一行元素和L的第一列元素。1516第二步，求U的第二行元素和L的第二列元素。依次计算下去，设U的前k-1行和L的前k-1列已经求出，导出求U的第k行和L的第k列的元素的公式：171819以上计算方法称为杜利特尔（Doolittle）分解。20注杜利特尔（Doolittle）分解的计算特点为：U的元素按行求，L的元素按列求；先求U的第k行元素，再求L的第k列元素，U和L一行一列

3、逐步交叉计算，即按下图逐框计算：每次计算出的L、U的元素放入A的相应位置上即可。这种记录方法称为紧凑格式。2122综上，用杜利特尔分解解方程组的方法如下：⑴对A实现杜利特尔分解：①先计算U的第一行元素，再计算L的第一列元素：②当时，求U的第k行和L的第k列的元素：23⑵解三角形方程组计算出⑶解三角形方程组计算出24例4用杜利特尔分解解方程组其中解由得由得由得当k=2时，25由得当k=3时，所以，有由由26