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时间:2020-02-26
《第19讲 近似值与估算.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第19讲近似值与估算 在计数、度量和计算过程中,得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下,得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数,这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如,测量身高或体重,得到的就是近似数。又如,统计全国的人口数,由于地域广人口多,统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡,得到的也是近似数。 用位数较少的近似值代替位数较多的数时,要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数,取舍尾数的主要方法有: (1)四舍五入法。四舍,就是当尾数最高位上的数字是不
2、大于4的数时,就把尾数舍去;五入,就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时,把尾数舍去后,在它的前一位加1。例如:7.3964…,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.40。 (2)去尾法。把尾数全部舍去。例如:7.3964…,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.39。 (3)收尾法(进一法)。把尾数舍去后,在它的前一位加上1。例如:7.3964…,截取到千分位的近似值是7.397,截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度,叫做近似数的精确度。 在上面的三
3、种方法中,最常用的是四舍五入法。一般地,用四舍五入法截得的近似数,截到哪一位,就说精确到哪一位。 例1有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么,精确到小数点后两位数是多少?分析与解:13个自然数之和必然是整数,因为此和不是13的整数倍,所以平均值是小数。由题意知,26.85≤平均值<26.95,所以13个数之和必然不小于26.85的13倍,而小于26.95的13倍。 26.85×13=349.05, 26.95×13=350.35。 因为在349.05与350.35之间只有一个整数350
4、,所以13个数之和是350。 350÷13=26.923… 当精确到小数点后两位数时,是26.92。 例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数,如例1中13个数的平均数,如果不知道它的确切数值,那么可以根据题设条件,适当地将它放大或缩小,再进一步确定它的具体数值。当然,这里的“放大”与“缩小”都要适当,如果放得过大或缩得过小,则可能无法确定正确值,这时“放缩”就失败了。 分析与解:真正计算出这个算式,再取近似值,几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数,所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了
5、。 若分子缩小、分母扩大,则分数变小;若分子扩大、分母缩小,则分数变大。利用这一点,使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数,有 …由0.2037…<原式<0.2549…,无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大,应使范围缩小些。 分子、分母各取三位小数,有 仍然无法确定,还应使范围缩小。 分子、分母各取四位小数,有 由0.2395…<原式<0.2398…知,原式小数点后三位肯定是“239”,第四位在5和8之间。按四舍五入法则,精确到小数点后三位数的近似值是0.240。 由例2进一
6、步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了,范围太大,无法确定;取的位数多了,例如取十位小数,计算量太大,繁琐且没有必要。 例3求下式的整数部分: 分析与解:对分母使用放缩法,有 所以199.1<原式<200,原式整数部分是199。 例4求下式的整数部分: 1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。 分析与解:在1.22×8.03,1.23×8.02与1.24×8.01中,各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大,于是得
7、到 1.22×8.03<1.23×8.02<1.24×8.01。 因为1.22×8.03>1.22×8,所以 原式>1.22×8×3=29.28; 因为1.24×8.01<1.25×8,所以 原式<1.25×8×3=30。 由29.28<原式<30知,原式的整数部分是29。 前面讲过,四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中,一定要注意灵活运用,特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。 例5某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的
8、速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全?(精确到0.1米) 解:0.112×(70÷5) =0.112×10 =1.12≈1.2(米) 答:导火线至少长1.2米。 此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米,执行任务的人还没跑到安全地带,炸药就被引爆,那可就太危险了。 例6某飞机所载油料最多只能在空中
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