平面向量数量积的物理背景及其含义.doc

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1、人教A版必修4《平面向量数量积的物理背景及其含义》课题：《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教材分析：向量的数量积是一种新的乘法，它是在学生学习了一种新的概念（既有大小又有方向的量叫）向量，并对向量的线性运算、坐标表示、以及基本定理做了深入的研究之后才引入的。既是对向量知识的补充，同时也为后面学习做好了铺垫。所以通过本节内容来真正理解向量，通过向量解决实际问题才是关键。学情分析：面对这部分的内容，学生既熟悉又陌生。对于物理上功的概念公式，学生熟记于心，但是能够真正理解它的概念却又有一定的难度。所以，

2、只是机械的记住向量的数量公式是必须，但是更重要的是让学生领会平面向量数量积的含义。教学目标：知识与技能通过本节课的学习，让学生掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题，掌握向量垂直的条件。过程与方法通过对物理概念功的理解，让学生类比联想两个向量数量积的含义，培养学生探索精神和动手能力。情感、态度和价值观让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质、运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学联系实际的本质，激发学生探索研究的能力。重难点：重

3、点：平面向量的数量积定义、性质、运算律的发现与论证。难点：平面向量的数量积、向量的投影及运算律的理解教学过程一、引入我们前面学习了一个新的量叫做向量，那么对于这种既有大小，又有方向的量。那么这种新的量除了已经学过的先行运算，是否还有其他的运算性质和规律呢？接下来就让我们一起探究。探究一：通过物理上功的定义，你是否能从中找出向量的相关知识呢？我发现了：1、两个向量：向量F和S2、向量的夹角向量F和S的夹角θ3、功与两个力的一个等式W＝FScosq通过探究引入平面向量数量积定义平面向量数量积（内积）的定义：已知两

4、个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有，（）.湖北省第三届青年教师教学竞赛枣阳预赛白水高中王家斌人教A版必修4《平面向量数量积的物理背景及其含义》并规定向量与任何向量的数量积为0.思考：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量

5、运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹，且=0，不能推出=.因为其中有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是=如右图：==，==

6、Þ=但(5)在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.二．“投影”的概念：作图定义：

7、b

8、cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角

9、时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

10、b

11、；当q=180°时投影为-

12、b

13、.三．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.探究二：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，湖北省第三届青年教师教学竞赛枣阳预赛白水高中王家斌人教A版必修4《平面向量数量积的物理背景及其含义》1、a^bÛ=02、当与同向时，=；当与反向时，=-特别的=

14、a

15、2或

16、

17、≤cosq=探究三：平面向量数量积的运算律1．交换律：=证：设a，b夹角为q，则a×b=

18、a

19、

20、b

21、cosq，b×a=

22、b

23、

24、a

25、

26、cosq∴a×b=b×a2．数乘结合律：证：若>0，(a)×b=

27、a

28、

29、b

30、cosq，(a×b)=

31、a

32、

33、b

34、cosq，a×(b)=

35、a

36、

37、b

38、cosq，若<0，(a)×b=

39、a

40、

41、b

42、cos(p-q)=-

43、a

44、

45、b

46、(-cosq)=

47、a

48、

49、b

50、cosq，(a×b)=

51、a

52、

53、b

54、cosq，a×(b)=

55、a

56、

57、b

58、cos(p-q)=-

59、a

60、

61、b

62、(-cosq)=

63、a

64、

65、b

66、cosq.3．分配律：在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

67、a+b

68、cos

69、q=

70、a

71、cosq1+

72、b

73、cosq2∴

74、c

75、

76、a+b

77、cosq=

78、c

79、

80、a

81、cosq1+

82、c

83、

84、b

85、cosq2，∴c×(a+b)=c×a+c×b即：(a+b)×c=a×c+b×c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·