【精品课件】数学：2.5.1《平面几何中的向量方法》课件(新人教A版必修4).ppt

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1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法ks5u精品课件平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。ks5u精品课件平面几何中的向量方法ks5u精品课件向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件a∥b.

2、(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥b.ks5u精品课件利用夹角公式(3)求夹角问题，(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

3、a

4、=或

5、AB

6、=

7、AB

8、=.ks5u精品课件探究（一）：推断线段长度关系思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ABCD=a+b,=a-b思考2：设向量a，b，则向量等于什么？向量等于什么？ks5u精品课件思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？思考4：利用，若求需要解决什么问题？ABCDab思考5：利用

9、a

10、=2，

11、b

12、=1，

13、a－b

14、=2，如何求a·

15、b？等于多少？

16、a

17、=2，

18、b

19、=1，

20、a-b

21、=2.ks5u精品课件思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ks5u精品课件例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示.∴解：设，则求证：ks5u精品课件你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量

22、问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形ks5u精品课件探究（二）：推断直线位置关系思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？交于一点思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？ABCDEFP证明PC⊥AB.ks5u精品课件思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结论？思考3：设向量a，b，c，那么PC⊥BA可转化为什么向量关系？ABCDEFPabcc·(a－

23、b)＝0.a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.ks5u精品课件思考5：如何利用这两个结论:a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0推出c·(a－b)＝0？思考6：你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗？ABCDEFPks5u精品课件探究（三）：计算夹角的大小思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？ABCDEks5u精品课件思考2：设向量a，b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？ABCDEabks5u精品课件思考3：以a，b为基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什

24、么结论？a·b=（a2＋b2）ks5u精品课件思考5：因为△ABC是等腰三角形，则

25、a

26、=

27、b

28、，结合上述结论:a·b=(a2＋b2),cosA等于多少？ABCDEabks5u精品课件例2如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点R、T，试推断AR、RT、TC的长度具有什么关系，并证明你的结论.ABCDEFRT结论:AR=RT=TCks5u精品课件解：设则由于与共线，故设又因为共线，所以设因为所以ABCDEFRTks5u精品课件不共线，故AT=RT=TCABCDEFRTks5u精品课件例3：如图4-4-1,在Rt△BAC中,已知

29、BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大?并求出这个最大值.【分析】解答本题的关键是要结合图形,利用向量的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答.ks5u精品课件【解析】解法一:∵AB⊥AC，∴AB·AC=0.∵AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,∴BP·CQ=(AP-AB)·(AQ-AC)=AP·AQ-AP·AC-AB·AQ+AB·AC=-a2-AP·AC+AB·AP=-a2+AP·(AB-AC)=-a