小学数学思想方法的梳理10.doc

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1、小学数学思想方法的梳理（十） 课程教材研究所王永春 十四、极限思想1.极限思想的概念。我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用

2、无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式a1，a2，a3，…，an，…其中an称为数列的通项。其实，数列的通项an可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an＝f(n)，其定义域为全体正整数。如1,,,…,,… 2，4，6，…，2n，…1，-1，1，-1，1，-1，…都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。通俗地说，就是对于任意给定

3、一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项an(N+1及大于它的每一项an,即aN+1,aN+2,aN+3,…)与常数a的差的绝对值总小于ε(在数轴上可以直观地理解为两个点an和a的距离总小于ε)，那么就说数列an的极限为a。在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子a1＋a2＋a3＋…＋an＋…叫做无穷级数，其中前n项的和可记作Ｓn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列Ｓ1，Ｓ2，Ｓ3，…，Ｓn，…当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数a1＋a2＋a3＋…＋an＋…的和，记作　Ｓ＝a

4、1＋a2＋a3＋…＋an＋…2.极限思想的重要意义。小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的和Ｓn近似等于n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形

5、的面积就越来越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果Ｓn的极限存在，记作Ｓ，最后Ｓ就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是Ｓ。这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程，体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对于培养学生初步的辩证思维有所裨益。3．极限思想的具体应用。极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。(1)在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0，1，2，3，…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认

6、识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1>N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。（2）在数的计算中体会极限思想。小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决

7、的问题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无穷多个分数相加的问题，本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位1的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的一半，永远有剩余”，用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。（3）在认识图形时渗透无限