热工过程自动控制原理第四章课件1.ppt

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1、第四章根轨迹法4.1根轨迹的基本概念4.2绘制根轨迹的规则4.3广义根轨迹4.4线性系统的根轨迹分析法1根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。2从系统的稳定性和动态性能两方

2、面考虑，系统的闭环极点起着主要作用。高阶系统的传递函数可写为：写成零极点的形式有若系统没有重极点，则单位阶跃响应为34.1根轨迹的概念一﹑根轨迹图根轨迹图是闭环系统特征方程的根（即闭环极点）随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在S平面上的变化轨迹。例4-1已知一单位负反馈系统的开环传递函数为试分析该系统的特征方程的根随系统参数的变化在s平面上的分布情况。4解系统的闭环传递函数系统的特征方程为特征方程的根是设的变化范围是〔0,∞﹚，当时,;当时，与为不相等的两个负实根；当时，为等实根；5当1<<∞时，为一对共轭

3、复根，其实部都等于-1，虚部随值的增加而增加；当→∞时，、的实部都等于-1，是常数，虚部趋向无穷远处。该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。6图4-1例4-1的根轨迹7当系统参数为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二阶系统并非难

4、事，但对于高阶系统，求解特征方程的根就比较困难了。如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，就需要大量反复的计算。1948年伊万斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。8二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。设控制系统如图4-2所示，其闭环传递函数为(4-1)图4-2控制系统9通常，前向通路传递函

5、数G(s)和反馈通路传递函数H(s)可分别表示（4-2）（4-3）式中为前向通路增益，为前向通路根轨迹增益；为反馈通路增益，为反馈通路根轨迹增益。10系统的开环传递函数为(4-4)为系统的开环增益，为开环系统的根轨迹增益；m=f+l为开环系统的零点数，为开环系统的极点数。将式（4-2）和（4-4）代入（4-1）可得（4-5）11比较式（4-4）和式（4-5），可得以下结论：(1)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统闭环零点就是开环零点。(2)闭环极点与开环零点、开

6、环极点以及根轨迹增益均有关。12根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点,并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦闭环极点确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（4-5）直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。13三、根轨迹增益与开环系统增益K的关系由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为（4-6）式中是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（）,

7、Ⅰ型系统（）或Ⅱ型系统（）等。将（4-4）代入（4-6）可得14开环系统的根轨迹增益与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。由式（4-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子﹑分母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例4-1中系统的开环传递函数为其开环增益为对于本系统，根轨迹增益与开环增益K间的关系为，它们之间仅相差一个比例常数2。15四、根轨迹与系统性能以图4-1为例进行说明稳定性如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定

8、的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc。稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。动态性能当0<<1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当时，特征方程的两个相等负实根