好好看看几何模型.doc

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1、全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一)角平分线的性质模型辅助线:过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图,已知,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AP平分∠BAC.3、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.(二)角平分线+垂线,等腰三角形必呈现A、例题辅助线:延长ED交射线OB于F辅助线:过点E作EF∥射线OB7例1、如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,B

2、E⊥AD于F.求证:.例2、如图,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证:.(三)角分线,分两边,对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC≌△OBC.A、例题1、如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ.2、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.3、在△ABC中,AB>

3、AC,AD是∠BAC的平分线,P是线段AD上任意一点(不与A重合).求证:AB-AC>PB-PC.4、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=100°,∠B的平分线交AC于D,求证:AD+BD=BC.5、如图,△ABC中,BC=AC,∠C=90°,∠A的平分线交BC于D,求证:AC+CD=AB.7二、等腰直角三角形模型(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程:(1)将△ABD逆时针旋转90°,得△ACM≌△ABD,从而推出△ADM为等腰直角三角形.(2)辅助线作法:过点C作MC⊥BC,使CM=BD,连结AM.(二)旋转中心为斜边中点,

4、动点在两直角边上滚动的旋转全等:操作过程:连结AD.(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF≌△ADE.(2)使∠EDF+∠BAC=180°,导出△BDF≌△ADE.1、如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且∠MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.试判断△EMC的形状,并证明你的结论.3、已知,如图所示,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°

5、,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM.(1)试判断△OMN的形状,并证明你的结论.(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化?4、在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF为多少度.7(三)构造等腰直角三角形(1)利用以上(一)和(二)都可以构造等腰直角三角形(略);(2)利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.(四)将等腰直角三角形补全为正方形,如下图:1、如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB

6、=PC,AP=AC,求证:∠BCP=15°.三、三垂直模型(弦图模型)A、例题已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC中点,AF⊥BD于点E,交BC于F,连接DF.求证:∠ADB=∠CDF.变式1、已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF⊥BM于E,交BC于F,连接NF.求证:(1)∠AMB=∠CNF;(2)BM=AF+FN.变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P,求证:(1)PM=PN;(2)PB=PF+AF.7四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论:(1

7、)△ABF≌△AEC.(2)∠BOE=∠BAE=60°.(3)OA平分∠EOF.(四点共圆证)拓展:△ABC和△CDE均为等边三角形结论:(1)AD=BE;(2)∠ACB=∠AOB;(3)△PCQ为等边三角形;(4)PQ∥AE;(5)AP=BQ;(6)CO平分∠AOE;(四点共圆证)(7)OA=OB+OC;(8)OE=OC+OD.((7),(8)需构造等边三角形证明)例、如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.(1)求证:△AMB≌△ENB;(

8、2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC的费尔马点,试求

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