曲线坐标系下的梯度、散度和旋度.pdf

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1、堕塾查．No．9TIMEEDUCAT10NSevtember曲线坐标系下的梯度、散度和旋度沈艳霞摘要：采用矢量分析的方法推导出曲线坐标系下梯度、散度和旋度的表达式。此方法与传统方法相比具有简单、准确的优点，便于技术人员和高效学生理解和掌握曲线坐标系下梯度等内容。关键词：曲线坐标系梯度散度旋度‘中图分类号：TK7文献标识码：A文章编号：1672—8181(2009)09—0075—02在空间直角坐标系中给定点的空间位置对应确定的五y，z三①=魄个坐标，新引入的曲线坐标q“=，2，(下同)分别是，Y，z确定的形式不同的函数，因此q在给定点处也

2、对应三个确定值。②肋==篆+Uy+尼c．为三个给定常数，则=代表三张不同曲面。这三张曲面③V’×B·(VxX)一A(vx；均为等值面。两坐标系曲面和的交线即为坐标曲线，如两坐标曲④V‘)V’面q和qa=c。的交线即为坐标曲线。⑤Vx(V×+×⑥△l，=V2u=V·()；在q坐标曲线上任取两点M)．，zJ和Ⅳ+d，y+dy，z=dz)，那么一⑦V×=0M坐标曲线的弧微分如=出毒2曲线坐标系下梯度表达式四由。(Ⅸ，。l瓦嘶呶其中dx是q坐标曲线两点M，Ⅳ在直由直角坐标系下梯度公式g：vf：++和；：蕊角坐标系下x坐标值之差，而由TM,Ⅳ两点均

3、位坐标++以及：芸出十+可得到．：善曲线上，其，坐标相等，故咖值为D，因此出蔷幽，同’理可得，：-if--aq,a_-=毒脚，则：√=孺：++篆出，而且此式与坐标系无关。在曲线坐标系下，=如++景妞，誊幽+毒(。幽，同样可+=^魄魄+妃e3(应用了公式(1))，此式ds2=中是沿坐标曲线的单位矢量。采用待定系数法，令：=++^，代入公式。一，则+差由拉梅系数矗=’其中(f=1，2，3)，则+啦，：(++)．(^由+a+呜)：0出，l砌，从而推得基本公式O：=囊。^+五十，由对应项系数对应相等可得qtoslaq1主要公式^=}番，=毒篆，=

4、_l妃ey，因此在曲线坐标系下的梯度公一75—塾!N0．9TIMEEDUCA．I1ONSeptember式为．}羔+者薏+丢善令=+十，则=Vx=V×(++3坝备足埋：旱位矢量的旋厦=jF口散厦上式右端第一项V×)：=V×)×砉V)×毒+a21{v×砉3．1单位矢量的旋度(应用了公式(5))由单位矢量毒具有零旋度可得：(二1O-+毒杀+1O-=音V=x云砉毒+杀+去毒，啊×I=故Vx(~)-VxVq,=8(应用了公式(7))，即矢量hi去t去t__)=c蛹一有零旋度。3．2单位矢量的散度同理展开右端其他两若可得：V×1【篆)一由于三个攀位

5、矢量t两两正交，故。=x#3，⋯，==俩一因此去日=(毒)×畴)×，从而可用形式简单的行列式表达旋度公式如下：则V．去弓-V‘(xVq3)=一VxVq~)一·(VxVqz)=。(应用了公式(3)和(7))，即矢量1有零散度—F。V,t2电3．3曲线标系下韵序嘉扶式一F见令：巧+十，则divF=V·F=V·(Fro)3．5曲线坐标系下拉普拉斯算子表达1O-16q-△=V2+一旦、∞∞。毒矗却，·、音杀曲1+v．()+v．()，上式中右端第一项V·()=1a一1a一+一h2+)v．(

6、lI2啬)ea·V(，l2)+最(应用毒百杀‘吉百+10t

7、‘18’+毒素c‘丢玄素了公式(4))由单位矢量一丧具有零散度可得：V。()去杀+亳c杀，+毒c警毒，V()：表峦毒+10-+丢啬)=14小结本文采用纯粹矢量分析的方法，导出了曲线坐标系下梯度。(同理展开右端其他两项V1散度和旋度的表达式。与其他方法相比，本文给出的证明过程简单、准确、理论色彩浓厚，也较易理解。本文将对科技人员和高校学生更好地理解和掌握矢量分析这一课程体系起到积极的促进()，V=1()'自坐标系作用。下散度表达式为：参考文献：【1】谢数艺．矢量分析与场论【MJ．北京：高等教育出版社，2002．d／v．：V．：—一(!2+2

8、+!墨!、、aq。[2】F_B．Hildebrand．应用高等数学(中册)[M】．中译本．北京：高等教,国2aq3育出版社，2004．3．4曲线坐标系下旋度表达式作者简介：沈艳霞四川师范大学成都学院，四川成都611745—76一