2、内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向,把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x方向,有∫p⋅dx=nh,(n=1,2,3,")waterysunxxx即p⋅2a=nh(2a:一来一回为一个周期)xx∴p=nh/2a,xx同理可得,p=nh/2b,p=nh/2c,yyzzn,n,n=1,2,3,"xyz22⎛2n22⎞1222π=⎜nxynz⎟粒子能量E=(p+p+p)=++n,n,n=
3、1,2,3,"nxnynz2mxyz2m⎜a2b2c2⎟xyz⎝⎠1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mωx中运动,用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示:利用∫p⋅dx=nh,n=1,2,",p=2m[E−V(x)]V(x)解:能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x≤a(1)122其中a由下式决定:E==Vx()maω。−a0axxa=21似水骄阳.2由此得a=2E/mω,(2)x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a122222∫p⋅dx=2∫2m(E−mωx)dx=2mω∫a
4、−xdx2−a−a2π2=2mωa⋅=mωπa=nh22nh2=n得a==(3)mωπmω代入(2),解出E=n=ω,n=1,2,3,"(4)n222u22au积分公式:∫a−udu=a−u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I,求能量的可能取值。2π2提示:利用∫pϕdϕ=nh,n=1,2,",pϕ是平面转子的角动量。转子的能量E=pϕ/2I。0解:平面转子的转角(角位移)记为ϕ。.它的角动量p=Iϕ(广义动量),p是运动惯量。按量子化条件ϕϕ2π∫pdϕ=2πp=mh,m=1,2,3,
5、"ϕϕ0waterysun∴p=mh,ϕ222因而平面转子的能量E=p/2I=m=/2I,m=1,2,3,"mϕ第二章波函数与Schrödinger方程K2.1设质量为m的粒子在势V(r)中运动。3(a)证明粒子的能量平ਛ值为E=⋅∫drω,2=**ω=∇+ψψψψV(能量密度)2m∂ωK(b)证明能量守恒公式+∇⋅=s0∂t2*K=⎛∂ψ∂ψ*⎞s=−⎜∇ψ+∇ψ⎟(能流密度)⎜⎟2m⎝∂t∂t⎠证:(a)粒子的能量平ਛ值为(设ψ已归一化)2似水骄阳2*⎛=2⎞3E=∫ψ⎜⎜−∇+V⎟⎟ψdr=T+V(1
6、)⎝2m⎠3*V=∫drψVψ(势能平均值)(2)23*⎛=2⎞T=∫drψ⎜⎜−∇⎟⎟ψ(动能平均值)⎝2m⎠2=∫3[]()*()*()=−dr∇⋅ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ2m其中T的第一项可化为面积分,而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2=3*T=∫dr∇ψ⋅∇ψ(3)2m2=**结合式(1)、(2)和(3),可知能量密度ω=∇⋅ψψψψ∇+V,(4)2m3且能量平均值E=∫dr⋅ω。(b)由(4)式,得2⎡⎤∂∂ωψ=∇⋅=⎢⎥∗∇ψψ+∇⋅**∇+∂ψ∂ψ∗∂VVψψ+ψ∂⎢tmt2∂∂tt⎥∂∂t
7、⎣⎦=2⎡⎤⎛⎞∂∗ψwaterysun∂ψψψψψ⎛⎞∂∗∂∂∗∂=∇⎢⎥⋅∇⎜⎟ψψ+∇−∇+∇+*2⎜⎟ψψ2*VVψ+ψ*2mtt⎢⎥⎜⎟∂∂⎜⎟∂∂tt∂t∂t⎣⎦⎝⎠⎝⎠22K∂∗ψψ⎛⎞==22∂⎛⎞*=−∇⋅+sVV⎜⎟−∇+ψψ+⎜⎟−∇+∂∂tm⎝⎠22tm⎝⎠⎛⎞K⎜⎟∂∗∂ψψ*=−∇⋅+sEψ+ψ⎜⎟∂∂tt⎝⎠K∂=−∇⋅s+Eρ(ρ:几率密度)∂tK=−∇⋅s(定态波函数,几率密度ρ不随时间改变)∂ωK所以+∇⋅=s0。∂t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程2∂()K=
8、2()()K[]K()K()Ki=ψr,t=−∇ψr,t+Vr+iVrψr,t(1)12∂t2mV与V为实函数。123似水骄阳(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。(b)证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为d3*=**K2V23*∫∫∫drψψ=−∫∫()ψ∇ψ−ψ∇ψ⋅dS+∫∫∫drψψdt2im=τSτ证:(a)式(1)取复共轭,得2∂*=2**−i=ψ=−∇ψ+()V−iVψ(2)12