2019届九年级数学下册 小专题（六）圆的切线的判定方法（教材变式）练习 （新版）湘教版

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1、小专题(六)　圆的切线的判定方法(教材变式)例　(教材P75习题T2)如图，AB是⊙O的直径，直线MN过点B，△ABC内接于⊙O，∠CBM＝∠A.求证：MN是⊙O的切线．【解答】　∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∴∠A＋∠ABC＝90°.又∵∠CBM＝∠A，∴∠CBM＋∠ABC＝90°.∴AB⊥BM.又∵OB是⊙O的半径，∴MN是⊙O的切线．　证明一条直线为圆的切线，主要有以下两种方法：①直线与圆有公共点：要判断是不是圆的切线关键看直线和圆是不是有公共点，若有(但没说唯一)，那么就连出这条半径，如果能够

2、证明该直线和这个半径垂直，就说明直线是圆的切线(简称为“连半径证垂直”)；②不确定直线与圆是否有公共点：若题目中没有告诉直线和圆有公共点，那就算圆心到直线的距离是不是等于圆的半径．若等于，则该直线就是圆的切线．(简称为“作垂直证半径”)1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B

3、AC＝30°.∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°.∴BA⊥AE，且OA是⊙O的半径．∴AE是⊙O的切线．2．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分边BC，交BC于E.求证：BC是⊙O的切线．证明：连接OD，OE，∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线．∴OE∥AC.∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA.∴∠DOE＝∠BOE(SAS)．∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE.∴∠ODE＝∠

4、OBE.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°.∴OB⊥BC.∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：CE为⊙O的切线．证明：连接OD.∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝∠BOD.∵∠BAD＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC.∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．4．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点F，

5、过点D作∠CDE，使∠CDE＝∠DFE，交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.求证：GE是⊙O的切线．证明：连接OD，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC.∵OC⊥AB，∴∠COF＝90°，∴∠OCD＋∠CFO＝90°.∴∠ODC＋∠CFO＝90°.∵∠EFD＝∠CFO，∠EFD＝∠CDE，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∴OD⊥GE.又∵OD是⊙O的半径，∴GE是⊙O的切线．5．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于

6、点E，F.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N.∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.∵在正方形ABCD中，AC平分∠BCD，ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴点N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为D，且∠BAC＝∠CAD.(1)求证：直线MN是⊙O的切线；(2)若CD＝3，∠CAD＝30°，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO.又∵∠BAC＝∠C

7、AD，∴∠ACO＝∠CAD.∴OC∥AD.又∵AD⊥MN，∴OC⊥MN.∵OC是⊙O的半径，∴直线MN是⊙O的切线．(2)∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝3，∴AC＝2CD＝6.∵∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AC＝6，∠BAC＝30°，∴AB＝4，即⊙O的直径为4.∴⊙O的半径为2.7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，E

8、B＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．解：(1)证明：过点D作DF⊥AC于点F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．∴EB＝CF.∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DF⊥AC，∴AB＝AF.∴AB＋EB＝AF＋FC