课标通用高考数学一轮复习第五章5.4平面向量应用举例学案理

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1、§5.4　平面向量应用举例考纲展示►　1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．考点1　向量在平面几何中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　向量在几何中的应用a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明线线平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb⇔____________(b≠0)．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔____________.(3)平面几何中夹角与线段长度计算：①cosa，b＝＝____________

2、____；②

3、AB

4、＝

5、

6、＝＝____________.答案：(1)x1y2－x2y1＝0　(2)x1x2＋y1y2＝0(3)①　②[典题1]　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．内心B．外心C．重心D．垂心[答案]　C[解析]　由＝＋λ(＋)，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋-18-)．根据平行四边形法则知，＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．[题点发散1]　在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋

7、∞)，则如何选择？答案：A解析：由条件，得－＝λ，即＝λ·.而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．[题点发散2]　在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？答案：D解析：由条件，得＝λ，从而·＝λ-18-＝λ·＋λ·＝0，∴⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．[点石成金]　向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，利用向量间

8、的关系构造关于未知量的方程进行求解．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．答案：2解析：解法一：如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，∴·＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos120°＋＋＝1，-18-解得λ＝2.解法二：建立如图所示平面直角坐标系．由题意知，A(0,1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0)．由BC＝3BE，DC＝λDF可求，点E，F的坐标分别为E，F，∴·＝·＝－2＋＝1，解得λ＝2.考点2　平面向量在三角函数中的应用[典题2]　在△ABC中，

9、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋

10、m

11、＝，·＝1.(1)求角A的大小；(2)求△ABC的面积S.[解]　(1)因为2m·n＝2sincos－2cos2＝sinA－(cosA＋1)＝sin－1，又

12、m

13、＝1，所以2m·n＋

14、m

15、＝sin＝，即sin＝.因为0＜A＜π，所以－＜A－＜，-18-所以A－＝，即A＝.(2)cosA＝cos＝cos＝coscos－sinsin＝，因为·＝bccosA＝1，所以bc＝＋.又sinA＝sin＝sin＝，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝(＋)×＝.[点石成金]　1.解决平面向量与三角函

16、数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．2．熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为(　　)A.，B.，C.，D.，答案：C解析：由m⊥n，得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，即2cos＝0.∵

17、cosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c，且acosB＋bcosA＝csinC，即c＝csinC，∴sinC＝1，又C∈(0，π)，∴C＝，∴B＝π－－＝.2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．答案：解析：∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－(a＋c)sinC＝0，又∵＝＝，化简，得a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝＝－.∵0

18、知平面上一定点C(2,0)和直线l：x