2020年高考数学（文）一轮复习讲练测 专题4.4 三角函数的图象与性质（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题4.4三角函数的图象与性质1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性．知识点一三角函数的定义域和值域三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x值域[－1,1][－1,1]R最值当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1当且仅当

2、x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1知识点二三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kπ－，2kπ＋为增；2kπ＋，2kπ＋为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Zkπ－，kπ＋为增，k∈Z对称中心(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z对称轴x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z考点一三角函数的定义域【典例1】（陕西省渭南市2018-2019学期中）函数的定义域为（）A．B．C．D．

3、【答案】D【解析】因为，所以故函数的定义域为，选D。【方法技巧】三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．【变式1】（广东省石门中学2018-2019学年期末）函数y＝lg(sinx)＋的定义域为________。【解析】函数有意义，则即解得所以2kπ

4、f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4，故选B。【方法技巧】三角函数值域或最值的3种求法直接法形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出化一法形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函

5、数的值域(最值)换元法形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)【变式2】(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．【解析】依题意，f(x)＝sin2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋1，因为x∈，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝时，f(x)max＝1.【答案】1【举一反三

6、】(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________。【解析】f(x)＝2cosx＋sinx＝＝sin(x＋α)(其中tanα＝2)，故函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为.【答案】考点三三角函数的单调性【典例3】(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)A．f(x)＝

7、cos2x

8、　　　　　B．f(x)＝

9、sin2x

10、C．f(x)＝cos

11、x

12、D．f(x)＝sin

13、x

14、【答案】A【解析】函数f(x)＝

15、cos2x

16、的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调

17、递增，故A正确；函数f(x)＝

18、sin2x

19、的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；函数f(x)＝cos

20、x

21、＝cosx的周期为2π，故C不正确；f(x)＝sin

22、x

23、＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A。【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．π【答案】A【解析】f(x)＝cosx－sinx＝cos，由题意得a＞0，故－a

24、＋＜，因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，所以解得0＜a≤，所以a的最大值是，故选A。【方法技巧】求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解图象法