(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第4讲 数列求和检测 文

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1、第4讲数列求和[基础题组练]1.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为(  )A.380-B.400-C.420-D.440-解析:选C.令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.2.(2019·辽宁本溪三校联考)已知数列{an}的通项公式是an=n2sinπ,则a1+a2+a3+…+a2018=(  )A.B.C.D.解析:选B.由题意得a1+a2+a3+…+a2018=-12+22-32+43+…-20

2、172+20182=1+2+3+4+…+2017+2018==,故选B.3.(2019·江西师大附中调研)定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则++…+=(  )A.B.C.D.解析:选C.由定义可知a1+a2+…+an=5n2,a1+a2+…+an+an+1=5(n+1)2,可求得an+1=10n+5,所以an=10n-5,则bn=2n-1.又=,所以++…+=(-+-…-+-)==.4.(2019·河北“五个一名校联盟”(二))已知数

3、列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2018=(  )A.3B.2C.1D.0解析:选A.因为an+1=an-an-1,a1=1,a2=2,所以a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…,故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S2018=336×0+a2017+a2018=a1+a2=3.故选A.5.等比数列{an}中,若a1=27,a9=,q>0,Sn是其前n项和,则S6=

4、________.解析:由a1=27,a9=知,=27·q8,又由q>0,解得q=,所以S6==.答案:6.(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,即解得所以Sn=,因此=2=.答案:7.已知数列{an}满足a1=,且an+1=.(1)求证:数列{}是等差数列;(2)若bn=an·an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)因为an+1=,所以=,所以-=,所以数列{}是等

5、差数列.(2)由(1)知=+(n-1)×=,所以an=,所以bn==4×(-),Sn=4×[(-)+(-)+…+(-)]=4×(-)=.8.(2019·四川广安毕业班诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式Tn≥的最小正整数n.解:(1)由Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*),得an+1-an=n+1,又a1=1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

6、(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=.所以数列{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知==2,所以Tn=2[++…+]=2=.令≥,解得n≥19,所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.[综合题组练]1.(2019·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为(  )A.1026B.1025C.1024D.1023解析:选C.因为=1+,所以Tn=n+1-,所以T10+1013=11-+1013=1024-,又m>T10+1013,所以整

7、数m的最小值为1024.故选C.2.(2019·益阳、湘潭调研)已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则++…+的值是(  )A.B.C.D.解析:选B.由Sn+1=2Sn可知,数列{Sn}是首项为S1=a1=2,公比为2的等比数列,所以Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.bn=log2an=当n≥2时,==-,所以++…+=1+1-+-+…+-=2-=.故选B.3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+a

8、n+1=(n=1,2,3,…),则S2n-1=________.解析:因为a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),所以S2n-1=a1+(a2+a3)+…+(a2n-2+a2n-1)=1+++…+=.答案:4.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2018项的和等于________.解析:因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2018项的和等于S2018=1009×=.答案:5.(

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1、第4讲数列求和[基础题组练]1.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为(  )A.380-B.400-C.420-D.440-解析:选C.令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.2.(2019·辽宁本溪三校联考)已知数列{an}的通项公式是an=n2sinπ,则a1+a2+a3+…+a2018=(  )A.B.C.D.解析:选B.由题意得a1+a2+a3+…+a2018=-12+22-32+43+…-20

2、172+20182=1+2+3+4+…+2017+2018==,故选B.3.(2019·江西师大附中调研)定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则++…+=(  )A.B.C.D.解析:选C.由定义可知a1+a2+…+an=5n2,a1+a2+…+an+an+1=5(n+1)2,可求得an+1=10n+5,所以an=10n-5,则bn=2n-1.又=,所以++…+=(-+-…-+-)==.4.(2019·河北“五个一名校联盟”(二))已知数

3、列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=1,a2=2,Sn为数列{an}的前n项和,则S2018=(  )A.3B.2C.1D.0解析:选A.因为an+1=an-an-1,a1=1,a2=2,所以a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,…,故数列{an}是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S2018=336×0+a2017+a2018=a1+a2=3.故选A.5.等比数列{an}中,若a1=27,a9=,q>0,Sn是其前n项和,则S6=

4、________.解析:由a1=27,a9=知,=27·q8,又由q>0,解得q=,所以S6==.答案:6.(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,即解得所以Sn=,因此=2=.答案:7.已知数列{an}满足a1=,且an+1=.(1)求证:数列{}是等差数列;(2)若bn=an·an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)因为an+1=,所以=,所以-=,所以数列{}是等

5、差数列.(2)由(1)知=+(n-1)×=,所以an=,所以bn==4×(-),Sn=4×[(-)+(-)+…+(-)]=4×(-)=.8.(2019·四川广安毕业班诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式Tn≥的最小正整数n.解:(1)由Sn+1=Sn+an+n+1(n∈N*),得an+1-an=n+1,又a1=1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

6、(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=.所以数列{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知==2,所以Tn=2[++…+]=2=.令≥,解得n≥19,所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.[综合题组练]1.(2019·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为(  )A.1026B.1025C.1024D.1023解析:选C.因为=1+,所以Tn=n+1-,所以T10+1013=11-+1013=1024-,又m>T10+1013,所以整

7、数m的最小值为1024.故选C.2.(2019·益阳、湘潭调研)已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=2且Sn+1=2Sn,设bn=log2an,则++…+的值是(  )A.B.C.D.解析:选B.由Sn+1=2Sn可知,数列{Sn}是首项为S1=a1=2,公比为2的等比数列,所以Sn=2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.bn=log2an=当n≥2时,==-,所以++…+=1+1-+-+…+-=2-=.故选B.3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+a

8、n+1=(n=1,2,3,…),则S2n-1=________.解析:因为a1=1,an+an+1=(n=1,2,3,…),所以S2n-1=a1+(a2+a3)+…+(a2n-2+a2n-1)=1+++…+=.答案:4.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2018项的和等于________.解析:因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2018项的和等于S2018=1009×=.答案:5.(

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