2017_18学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法同步配套教学案

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1、二综合法与分析法　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P211．综合法(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(3)证明的框图表示：用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→……→2．分析法(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的

2、命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．(3)证明过程的框图表示：用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→……→　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P21用综合法证明不等式[例1]　已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：·≥9.10[思路点拨]　可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式．[证明]　法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2.∴xy≤.∴＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.当且仅当x＝y

3、＝时等号成立．法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0，∴＝＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当x＝y＝时，等号成立．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时取等号．证明：因为a>0，b>0，c>0，故有a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号；b＋c≥2，当且仅当b＝c时取等号；c＋a≥2，当且仅当c＝a时取等号．三式分边相加，得a＋b＋c≥＋＋.当且仅当a＝b＝c时取等号．2．已知a，b

4、，c都是实数，求证：10a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.c2＋a2≥2ca将以上三个不等式相加得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋

5、bc＋ca.用分析法证明不等式　　[例2]　已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3).[思路点拨]　不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件．[证明]　要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6.即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.∵x>0，y>0，∴x2y2>0.即证3x2＋3y2>2xy.∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy.∴3x2＋3y2>2xy成立．10∴(x2＋y2)>(x3＋y3).(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式

6、没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．3．求证：＋<2.证明：分析法：∵＋>0,2>0，∴要证＋<2.∴只需证明：(＋)2<(2)2.展开得：10＋2<20.即证2<10，即证21<25(显然成立)．∴＋<2.4．a，b∈R＋，且2c>a＋b.求证：c－

7、a－c

8、<，两边平方得a2－2ac＋c2

9、式成立.综合法与分析法的综合应用[例3]　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≤.10[思路点拨]　所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．[证明]　要证：＋≤，只需证(＋)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2≤6.由a＋b＝1得只需证≤，即证：ab≤.由a0，a＋b＝1，得ab≤2＝，即ab≤成立．∴原不等式成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的