2018版高考数学（文）（北师大版）大一轮复习讲义 第六章　数列 第六章 6.2(1)

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1、1．等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am

2、＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)构成等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔

3、Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否

4、正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　√　)1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)A．－1B．0C．1D．6答案　B解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·

5、全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)A．100B．99C．98D．97答案　C解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.3．(2016·江西玉山一中模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＋a4＋a5＝9，则S7等于(　　)A．21B．28C．35D．42答案　A解析　∵a3＋a4＋a5＝9，∴a4＝3，∴S7＝7a4＝21，故选A.4．已知等差数列{

6、an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案　60解析　∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．答案　8解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故

7、当n＝8时，其前n项和最大.题型一　等差数列基本量的运算例1　(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N＋有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(　　)A．2B．10C.D.(2)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.答案　(1)C　(2)6解析　(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)∵a3＋a5＝2a4

8、＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.思维升华　等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，