椭圆中常见热点问题

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1、椭圆中常见问题一、求直线方程、标准方程、离心率、弦长等常规问题（“常规求值”问题需要找等式）；知识点：1、已知椭圆上，是椭圆的两个焦点，B为椭圆上顶点，，求椭圆离心率.2、已知椭圆上，是椭圆的两个焦点，B为椭圆上顶点，为等腰直角三角形，求椭圆离心率.3、已知椭圆上，是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.4、已知椭圆的长轴两端点为、，如果椭圆上存在点，使求椭圆离心率的范围。5、已知椭圆上，是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点使，求椭圆离心率的范围.6、已知椭圆.过点（2，—1）且方向向量为的直线L交椭圆与A、B两点。⑴若线段AB的中点为M，求

2、直线OM的斜率（用表示）；⑵若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为，求的面积。6二．最值问题的常用方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。7、已知椭圆C的中心在原点，焦点、在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且的最大值为90°，直线l过左焦点与椭圆交于A．B两点，△的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程。【解析】：（1）设,对由余弦定理,得，解出（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：i)当k存在时，设l的方程为

3、椭圆方程为由得于是椭圆方程可转化为将①代入②，消去得,整理为的一元二次方程，得.则、是上述方程的两根．且，，AB边上的高ii)当k不存在时，把直线代入椭圆方程得由①②知S的最大值为由题意得=12所以故当面积最大时椭圆的方程为：练习：已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．．6三、“是否存在”、过定点、定值问题的解题策略：“是否存在”问题方法：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；

4、⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。8、如图，椭圆C：的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形OAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．OMBAEPDxy（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=，求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．证明：（1）由题意，A（4，0），B（0

5、，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为∵椭圆C：，∴满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得即,得或∴R的坐标为∵k1•k2=，∴直线BS的斜率,∴直线BS的方程为,把用代入得S的坐标为∴R，S关于原点O对称,∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．9、如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx

6、+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为

7、AB

8、＋

9、AF2

10、＋

11、BF2

12、＝8，即

13、AF1

14、＋

15、F1B

16、＋

17、AF2

18、＋

19、BF2

20、＝8，又

21、AF1

22、＋

23、AF2

24、＝

25、BF1

26、＋

27、BF2

28、＝2a，6所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2

29、－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.练习：已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长

30、为4.(I)求椭圆C的标准方程;(II)直线x=2与