中值定理在解高考试题中的简单应用

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1、拉格朗日中值定理在解高考试题中的简单应用352200古田县第一中学黄传杰新课程中，高屮数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力,也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择.尤其在近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市质检卷中也出现大量的题目可以用拉格朗日中值定理解答.0拉格朗日屮值定理：若函数/(兀)满足如下条件：(i)/(x)在闭区间[a,甸上连续；(ii)/(兀)在开区间(a,b)内可导;则在仏b)内至少存在一点使得f(§)=/(?_门。)b-a本文先面对多数学生介绍中值定理在两种题型上的应用。(

2、其中兀1北兀2)有关的问题。一、证明与•心)-小)"或•心)-・心)<2X}-X2X]-x2Q2例1：(2011年福建省质检理19题)已知函数f(x)=x+—+alnx.X(1)求/(无)的单调递增区间;(II)设a=l,g(x)=f'(x问是否存在实数使得函数g(x)±任意不同两点连线的斜率都不小于k?若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由。解(I)略21(II)该题提供的参考答案是：当时，g(x)=l-一+-o假设存在实数使得g(x)的JTX图象上任意不同两点连线的斜率都不小于比，即对于任意匕>西>0,都有亦即x2_X

3、21g(X2)-g

4、-g(召)一兀1，考查函数h(x)=g(x)-kx=——+——kx(k>0),故问题等价于Qx4141//(x)=——--k>0在(0，+oo)上恒成立oB

5、JZr<—--对兀〉0恒成立。(以下同省质检参考答案)这种解法对于多数学生仍感到入口难，而应用屮值定理多数学生就会感到入口容易得多，解法如下:21当时，g(x)=l-一+—,假设存在实数使得的图彖上任意不同两点连线的斜率都不小于XX即对任意禺>舛>0,都有"（%2）-"（X）>^由屮值定理知存在xg（xpx2）,有g'（x）=g（®）-g3）沁即sM=^__L>k在（0,+oo）上恒成立。（

6、以下同省质检参考答案）x2-xlXx~例2：（2009年辽宁卷理21题）—17已知函数/（x）=—x"-6f^4-（（7-l）lnx,a>（I）讨论函数/（x）的单调性；（II）证明：若a<5,则对任意西,七€（0,+8），码H无，有小）7心>一1.―西-x2（I）略；（II）由中值定理知/（人）一/（勺）=f（X。）（X（）e（0,+oo））.由（I）得，f（兀）=兀一°+口所以要证）_/（兀2）〉_］成立,即证/'（兀（））=无厂。+纟二1>_1.下面即证之.・.・如>0・・・等价证西一兀2兀0明兀（）2-（。一1）兀（）+°-1>0在如W（

7、0,4-00）上恒成立，令g（%o）=旺2_（Q_1）兀o+a_l,则△=（d_l）2_4（a—l）=（d—l）（d—5）.由于1VGV5,所以△<（）.从而g（x°）>0在/?恒成立.也即兀。？一CM。+G-1>—观.又兀0丘（西，％2），西,％2丘（°，十°°），故兀0>°・则——°"+°~~>一1,即/（x（））=x0-.+^l>-l,也即迪二如>_1.X。坷―兀2评注：这道题（II）小题存在两个难点：首先有两个变量石,吃；其次G的值是变化的•参考答案的解法是考虑函数g（x）=/（x）+x.为什么考虑函数g（x）=.f（x）+x?很多考生一下

8、子不易想到.而且g'（x）的放缩也不易想到.二、证明与

9、/（西）一/（兀2）

10、>

11、久（西一兀2）

12、有关的问题例3：（2010辽宁卷理21）已知函数/⑴=（o+l）lnx+ar（I）讨论函数/（兀）的单调性;（II）设QV—1.如果对任意州，兀2丘（0，+°°）,

13、/（x1）-/（x2）

14、>4

15、x1-x2

16、,求a的取值范围。解：（I）略；（II）（参考答案）不妨假设X,>x2，而QV-1，由（【）知在（0,+8）单调减少，从而Vxpx2g（0,+oo）,

17、/（xi）-/（x2）

18、>4

19、x1-x2

20、等价于Vxpx2g（0，+oo）,/（x2）+4x2»

21、/（兀1）+4兀］①令g（兀）=/*（兀）+4兀,则gx）=^-^-+2ax+4X①等价于g（x）在（0,+°°）单调减少，即竺乜+2处+450.X-4x-l2x2+1（2兀_1）2_4兀2_2_（2兀_1）22x2+12x2+1—2故a的取值范围为（・8-2].若用中值定理则当VxpX2G（0,+oo）,Xx工兀2时，

22、/（兀

23、）一/（兀2）

24、»4卜

25、一咄恒成立可转化为

26、/（学）_/》）

27、n4恒成立，即

28、f（兀）24在（0,+oo）上恒成立，由厂（X）二虫+2or<一2如@+1）得2j2a（d+l）»4当a<-1时恒成立，解得aS-2,故a的取

29、值范围为（-°°,-2］.例4：（2006年四川卷理笫22题）2己知函数/（X）=%2+-+6/Inx（x>0）,f（x）