北京化工大学高等固体物理习题课有答案

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1、北京化工大学第二学期研究生课程:体物理（2）一、简答题1.请导出一维双原子链的色散关系，并讨论在长波极限时光学波和声学波原子的振动特点。nTo•o•2a双原子（M>m）一维晶格运动方程：fnd2X2rl+l/dt2=ks(X2n+2-2x2n+l+X2n)Md2X2n+2/dt2=ks(X2n+3^X2n+r2X2n+2)方程的解是以角频率为3的简谐振动：心+尸恥"曲⑵小妙x2n=Bei{OJt-q2na}X2卄2二卄2）a}心+3二A/如⑵5"由牛顿方程与简谐振动方程得：-mc^A=ks(eiqa+e'iqa)B-2ksA・McJB=ks(eiqa+e'iqa)A-2kA上式可改写为

2、：(2ks-mai)A-(2kscosqa)B=0-(2kscosqa)A+(2ks-Maf)B=0若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，即有解条件2ks-m(o2・2kscosqa行列式为02-2kscosqa2k$・MoT得：a/={(m+M)±[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波(对于一维简单晶格，只能存在一种格波)。两种不同的格波各有自己的色散关系：◎2={(m+M)・[m2+M2+2mMcos(2qa)]"2}ks/mMa)22={(jn+M)+[m2+M2+2mM

3、cos(2qa)]1/2}ks/mM声学波与光学波的比较相邻原子的振动方向振动的频率长波极限振动质点振动质点的质量同号双原子异号双原子声学波相同慢原胞重连续介质的弹性波光学波相反快异号原子相对振动轻产生电偶极矩，发射电磁波1.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？另外，你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？《1》长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子作相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率较高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞作整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率较低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格(非复式

4、格子)晶体不存在光学支格波。《2》实验已经证实，离子晶体能强烈吸收远红外光波，这种现象产生的根源是离子晶体中个长光学横波能与远红外电磁波发生强烈耦合，简单晶格中不存在光学波，所以简单晶格不会吸收远红外光波。2.设电子在一维周期势场V(x)中运动，其中V(x)二V(x+a),按微扰论求出k二土龙/a处的能隙。h:=

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7、A>=-dLu按原胞划分写成：旳心)”诂羔F"(忙引入积分变垦g・啟丿利冃势场硒越的更明性：〕/(门二卩住+以门一一色密顿呈：h=+z/h=-—4^・=af2tndP根捱做抗理论■电子的MA征值：

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14、rJ两个态的能量旬隔：耳二2

15、「”

16、为禁帘宽度。1.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？为什么说在甚低温下，德拜模型与实验相符？并对比分析爱因斯坦模型和德拜模型在解释晶格热容中的各自优点和不足Z处。1)按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为10,3hz,属于光学支频率。单光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容的贡献大的主要是长声学格波。也就是说爱因斯坦没有考虑声

17、学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。2)在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学格波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。3)Einstein模型：把晶体中的原子看作是一些具有相同圆频率血£并能在空间做自由振动的独立谐振子，根据Plank理论，他假定每个谐振子的能量足量子化的。这个模