2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题15不等式选讲理（含解析）

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1、专题15不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，

2、．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．

3、【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．【答案】．【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．综上，原不等式的解集为．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数．（1）解不等式；（2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】（1）不等式等价于或或解得或．（2

4、）对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域．，由图可得时，，所以的值域为．，当且仅当与异号时取等号，所以的值域为，由题，所以，解得．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数，不等式的解集为．（1）求实数a的值；（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）由得－4≤≤4，即－2≤≤6，当>0时，，所以，解得＝1；当<0时，，所以，无解．所以实数的值为1．（2）由

5、已知＝

6、x＋1

7、＋

8、x－2

9、＝，不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2，由题意知函数的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，由图得，当t<0时，t≤kAM；当t>0时，t≥kBM，又因为kAM＝－1，，所以t≤－1或，即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）设，若的最小值为，求

10、的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），即或，∴实数的取值范围是．（2）∵，∴，∴，易知函数在单调递减，在单调递增，∴．∴，解得．【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数．（1）若的最小值为1，求实数的值；（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．【答案】（1）或4．（2）．【解析】（1）当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4．（2）当时，即，当时，，即，

11、因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数的取值范围是．【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力．9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数．（1）解不等式；（2）若，对，使成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）不等式等价于或或，解得或或，所以不等式的解集为．（2）由知，当时，，，当且仅当时取等号，所以，解得．故实数的取值范围是．【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟

12、考试数学（理）试卷】已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于x的不等式的解集为，求证：．【答案】（1）或（2）见解析【解析】（1）当时，不等式为，当时，原不等式可化为，解得，当时，原等式可化为，解得，不满足，舍去；当时，原不等式可化为，解得；不等式的解集为或．（2）即，解得，而解集是，所以，解得，从而．于是只需证明，即证，因为所以，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证