直线与平面、平面与平面垂直的性质

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1、直线与平面、平面与平面垂直的性质[学习目标]　1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一　直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考　(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答　(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确

2、定一个平面.(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二　平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线思考　(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？答　(1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b

3、⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一　直线与平面垂直的性质及应用例1　如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证

4、BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.跟踪训练1　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明　如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，A

5、B⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二　平面与平面垂直的性质及应用例2　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明　∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明　∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平

6、面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝AB2＝.∵OC⊥平面VAB，∴VC－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝，∴VV－ABC＝VC－VAB＝.跟踪训练2　如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明　因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，

7、AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三　线线、线面、面面垂直的综合应用例3　如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明　过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2

8、.在Rt△BFE中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)解　三棱锥E－A1B1C1的体积V＝AA1·＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.同理，EC1＝＝3，A1E＝＝2.故＝3.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝·d·＝d，从而d＝，d＝.即点B1到平面EA1C1