资源描述：
《42三角形四心的向量问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、有关三角形“四心”的向量问题一.知识梳理:四心的概念介绍:(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。•与“重心”有关的向量问题【命题1】已知6是厶ABC所在平面上的一点，若GA+G〃+GC=O,则6是厶ABC的重心.如图(1).AfO图⑵【命题2］已知0是平面上一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=Q4+2(AB+4C),2g(0,+oo),则P的轨迹一定
2、通过△ABC的重心.【解析】由题意AP=A(AB+AC)t当2g(0,4-oo)时，由于/KAB+AC)表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△A3C的重心，如图⑵.•与“垂C?”有关的向量问题【命题3】P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB=PBPC=PCPA,贝9P是△如?C的垂心.【解析】由PAPB=PBPC,得出贸底)=0，即仍(3=0,所以PB丄C4•同理可证PC丄AB,PA丄BC.：・P是厶ABC的垂心.如图⑶.【命题4】已知0是平面上一定点,AB,0P=OA+AAB+ABcosBACcosC,2g(0,+oo),则动点P的轨迹•一定通过Z
3、XABC的垂心.【解析】由题意AP=AABAC1ABcos3ACcosC由于ABFABcosBACBC=O,ACcosC/1ABcosBACcosCAB・BCACBC=bc—CB=0,所以AF表示垂直于BC的向塑，即P点在过点AIL垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.22222【命题5】若H为ZVIBC所在平面内一点,ftHA^BC=HB「+CA=HC「+AB..(HA+HB)^BA=(CA+CB)^BA得(HA+HB—CA—CB”BA=0即(HC+HC)・BA=0/.AB丄HC同理AC丄丄故H是AABC的垂心•与“内心”有关的向量问题【命
4、题6】已知/为△ABC所在平面上的一点，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA+bIB+clC=O,则/是厶ABC的内心.图⑹【解析mA+AB,IC=IA+ACf则由题意得(°+Z?+c)/A+ZMB+cAC=O,・・・bAB+cAC=ACAB+ABAC=AC•AB•bea+b+cABAC+ABAC竺与竺ABAC、ABAC+ABHI'分别为AB和AC方向上的单位向量,・・・A/与ABAC平分线共线，即AZ平分ABAC.同理可证：场平分ZABC,C/平分ZACB.从而/是厶ABC的内心，如图(5).【命题7］己知0是平面上一定点，AB，C是平面上不共线的三个点，动点P满足u
5、unuiiiniiunuurOP=OA+^ABAC
6、X118MB【解析】由题意得AP=AAe(0,+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.ABAC+ABAC•••当/Ig(0,+oo)吋，4P表示ZBAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.•与“外心”有关的向量问题【命题8］己知0是ZkABC所在平面上一点，若O^=OB2=OC2,则0是4ABC的外心.【解析】若OA=OB=OC,则网『=pC『，・・・
7、Q4卜倒=pc
8、,则。是△ABC的外心，如图⑺。【命题9】已知0是平面上的一定点，AB,C是平而上不共线的三个点，动点P满足O
9、P=OB+OC_2-43ABcosBACACcosC丿Ag(0,+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。【解析】由于OB+OC~~2过BC的中点，当)时，AABAC1ABcosBACcosC示垂直于BC的向量(注意：理由见二、4条解释。)，所以P在BC垂直平分线上，动点、P的轨迹一定通过△A3C的外心，如图⑻•四心的相互关系1•三角形外心与垂心的向量关系及应用设ZABC的外心为0,则点片为△ABC的垂心的充要条件是OH=OA+OB+OCo2•三角形外心与重心的向量关系及应用设△ABC的外心为0,则点G为AABC的重心的充要条件是OG=4-OB+OC)3•三角形的外
10、心、重心、垂心的向量关系及应用设厶ABC的外心、重心、垂心分别为0、G、H,则0、G、H三点共线（0、G、H三点连线称为欧拉线），且0G=》GH。2二.巩固练习一.选择题1.已知AB.C是平面上不共线的三点，0是△ABC的重心，动点P满足0尸=丄（丄Q4+丄O3+2OC）,则点P—定为△ABC的（）322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的屮点2.在同一个平面上有MBC及一点0满足关系式：222922OA+BC=OB+CA=OC+AB,则0为AABC的（）A外心B内心C重心D垂
